Гидротехнические сооружения. Том II

переменного z. Принимая за начало координат центр второй окружности 0\, имеем: уі=у\ х — х х -\-Ь, (125) где Ь— ООi — расстояние между центрами. В старой координатной системе комплексное переменное есть z = х-\- іу = Xi + b-\- l'y— Zj -\-b. (125') Если удастся конформно отобразить малую ок ружность в прямую N'N, то большая окружность отобразится в контур, огибающий прямую, как указано на чертеже. Этот контур напоминает профиль крыла самолета, и обтекание его и было изучено И. Е. Жуковским. Преобразующая функция имеет вид 1 Исследуя функцию (126), можно убедиться, что окружности с радиусом с на плоскости Zj соот ветствует : отрезок действительной оси длиной N'N— 2с на плоскости з. Чтобы найти преобразованную функцию тече ния, т. е. чтобы изучить обтекание профиля Жу ковского, нужно уравнение (126') разрешить отно сительно z и полученное значение z вставить в (124). Для общности, предположим, что поток (124) составляет в бесконечности некоторый угол а с осью ОХ (угол атаки). Аналитически это зна чит, что переменное z нужно умножить на е ' а . Та ким образом повернутый поток есть 2г. а После этого можно по формулам (107) и (108) п-2 вычислить подъемную силу преобразованного потока (формулы Чаплыгина — Блазиуса). Дли поддерживающей силы получается Р --—пр sin а, где а — угол атаки. Обозначая: 2а —s, я sin а = с, получим из (127) p = 4 9œ s (127' ) — основная расчетная формула аэродинамики. Все вышеизложенное касается непрерывного обтекания, без срыва струй. Дальнейший анализ показывает, что это обстоятельство, кроме пара докса Эйлера, приводит например к результату, гласящему, что скорость на острие крыла N (рис. 19) оказывается бесконечно большой, чего в природе не бывает. На это было обращено вни мание Гельмгольцем, показавшим, что жидкость может иметь прерывное течение, и положившим тем самым основание теории струй, к которой далее и переходим. е) Теория струй Выше было указано, что теоретически возможно прерывное движение жидкости, т. е. такое, при (127) или (126) (126' ) W-. ze , //, ze -j- In —

и представляя комплексное переменное в поляр ных координатах: z = X -\-іу =* г (cos 'f -f- i sin f), (116') получаем W И ' - * ) ' Уравнение (122) и определяет функцию течения (122)

для обтекания круга с радиусом а. Составляя комплексную скорость dW . . (.

(123)

легко видеть, что при z = co

<7® е "» = а. Таким образом скорость потока в бесконечно сти параллельна оси X и равна А. Так как поток потенциален, то давление потока на окружность или, точнее, на боковую поверх ность цилиндра с высотой, равной единице, и радиусом а, обтекаемого перпендикулярно оси, должно быть равно нулю. В этом можно убедиться непосредственным вычислением по формулам (107) и (108). Поэтому для получения поддерживающей силы необходимо к найденному потоку прибавить чисто циркуля ционный поток.

Г'ис. 14

H. Е. Жуковский показал непосредственно, что поддерживающая сила потока, обтекающего ок ружность, может быть получена сложением двух потоков: потенциального щ = e/ co [ z .4* ".. j (ранее нами найденного), и чисто циркуляционного с циркуляцией / W, = !' Іп - , 2г. а т. е. (Г = Г , + М7 2 = q j j t + Л ) + £ 1 . ( 1 2 4 ) Поток (124) дает поддерживающую силу. С помощью этого потока H. Е. Жуковский изучил обтекание крыла аэроплана путем следую щего конформного преобразования. Впишем в окружность радиуса а (рис. 19) ок ружность меньшего радиуса г так, чтобы обе эти окружности касались в точке М, как указано на чертеже. Центры окружностей обозначим О и 0 [ . Плоскость потока, обтекающего окружность с радиусом а, примем за плоскость комплексного