Гидротехнические сооружения. Том II

на плоскости комплексного переменного z соот ветствует вполне определенный контур на плоско сти функции комплексного переменного Z в за висимости от вида преобразующей функции. В теории аналитических функций доказывается, что соответственные бесконечно малые контуры, обеих плоскостей геометрически подобны, причем параллелизм углов сохраняется. Такое преобразование одного контура в другой называется конформным. Если теперь известна функция течения W при обтекании одного контура, и если удастся этот контур конформно отобразить на другой контур, обтекание которого нужно исследовать, т. е. найти подходящую преобразующую функцию, то тем самым будет найдена и функция течения исследуемого потока. Естественно поэтому начать исследование с об текания простейших контуров, например круга. Аналитически функция течения потенциального потока, обтекающего круг, может быть найдена следующим образом. Как было выше сказано, потенциал скоростей ç удовлетворяет уравнению Лапласа V 2 ? = 0, (П7> причем на самом контуре производная по нор мали ^ должна оыть равна нулю, т. е. так как скорость направлена по касательной к контуру. При изучении обтекания круга проще всего воспользоваться полярными координатами г, (J- Если радиус круга а, то вышеизложенное можно написать в виде , Ѵ ч, 1 іЦ 1 д* 9 V Т Qyl I у ~ ö y Г у, ö( ß (117'). — уравнение Лапласа в полярных координатах, с полюсом в центре круга, и с)'-? дп = 0, (118)

Выделим в (109) члены, создаваемые вихрями. Для этого сравнивая (101) и (109) имеем: I 2іг? Q z ' откуда / = 2 ir/Сь (113) Этим подтверждается необходимость существо вания циркуляции для существования подъемной силы. Так как величина циркуляции существенно действительна, то С) должно быть поэтому чисто мнимым числом. Подставляя а (111) значения (112) и (ИЗ), окон чательно имеем: Р У "Ь ір х = — р/ (tl„ — < ). (111') Отделяя действительную и мнимую части в (111'), получаем формулы, носящие название формул Кутта-Жуковского: Р.Х = */»„ \ ' I'lUco / ' (114') Если в бесконечности скорость направлена но оси АГ, то q — и ж , ѵ „ — 0, и Р х = 0 Р у = рЧ, (115) При потенциальном потоке циркуляция / = 0, следовательно получаем парадокс Эйлера. Р х называется лобовым сопротивлением, Ру — поддерживающей силой. Практически, конечні, Р х нулю не равно. Вихревая теория лобового сопро тивления разработана была Карманом (см. ниже). д) Метод конформных преобразований Для нахождения поддерживающей силы пло ского потока при обтекании различных контуров задача сводится к вычислению криволинейных интегралов от функций комплексного переменного. Конформные преобразования, широко применяе мые в теории функций комплексного перемен ного, дают возможность перейти от потока, обте кающего данный контур, к потоку, обтекающему любой другой, если удастся конформно отобразить первый контур во второй. Конформное преобразование выполняется сле дующим образом. Сопоставляются две плоскости: 1-я — плоскость комплексного переменного z — X -f- iy и 2-я — плоскость функции комплексного пере менного Z = Z ( z ) = X + iY. (116) При этом устанавливается соответствие между плоскостями; точке плоскости комплексного пере менного z соответствуют одна или несколько точек плоскости функции комплексного перемен ного Z, смотря по тому, однозначна или много значна преобразующая функция Z\ контуру C l = 2тг? ' (114)

Частными решениями (117') являются выраже ния / ' c o s « 9 , г " s i n«0 , а также сумма произве дений этих частных решений на произвольные постоянные. Для удовлетворения пограничному условию (118') нужно эту сумму взять в виде

t - cost).

(119)

h

Уравнение (119) и определяет потенциал скоро стей с точностью jдо произвольного постоянного интеграции. Определяя из условий Коши-Римана функцию тока Ф, получаем:

Ф - А [ г — у j sln0.

(120)

Сопоставляя функцию течения