Гидротехнические сооружения. Том II

Замечая, что

Постоянную С определим из условия, что достаточно далеко от обтекаемого контура давле ние и скорость будут соответственно р с о и <7 œ _ Тогда

4 ds = Я

(110)

(по определению самого потенциала скорости ср) и следовательно

со

V 2 оо

0 0 5 ' )

q- ds 2 = rf'f 2 dW-, имеем, подставляя в (107) и (108): 1 4 dW* dz ' ^ + : 2 - 4 ~

(111)

• ~n~ ['Я'-

(106)

Подставляя значение р из (106) в (103) и (104) получим: Рх = \-9§<Р4У-( Роо +

или

Ру 4 і Р х = - " 2 pc j )

) 2 • dz.

( 1 0 7 ' )

M = действительной части /

1 г dW-\ ( " Т - ^ dz J

( 1 0 3 ' )

или M = действительной части

M

Формулы (107) и (108) называются формулами Чаплыгина —Блазиуса. Удобства вычисления поддерживающей силы по этим формулам очевидны. Необходимо не упускать из виду, что выражение dW — - = и — IV dz обозначает комплексную скорость. Комплексная скорость, как аналитическая функ ция комплексного переменного, может быть пред ставлена в виде степенного ряда: dW dz - — и — IV с 0 4 V + Cs 1 , Со (109) — так называемой главной частью ряда Лорана. Положительные степени должны отсутствовать, так как иначе в бесконечности комплексная ско рость была бы бесконечна, чего не должно быть по условию. В теории функций комплексного переменного доказывается, что в этом случае dz = 2r.iC x (110) . dz (см. „интегральный вычет"). Из (109) имеем

+ydy-

-I,- f (j) < i 2 (xdx + y dy) =

(104' )

<$ç4xdx+ydy),

так как для замкнутого контура <§dx = <£dy = <$xdx+ydy = 0. Для удобства вычислений обычно вводят ком плексное переменное следующим образом: умно жая и деля подынтегральные выражения на величину dx-\-tdy, имеем из прёдыдущих уравнений: „ . 1 4 „ dx* 4- dy '

1 rfi я d s * 2 " р j f ~ds '

(107)

~

M —'действительной части / _ 1 fJ +

(dx' +

dyi))

2" 1 У 1

dx 4 i dy

I

1

равно действительной части

ds*

(108)

dz

где

( © ' « < * + d o s ' )

z — X 4 iy,

dz = dx 4 i dy,

ds* — dx* 4

dy*

и, согласно (110) и (107' )

— квадрат элемента касательной контура. Эти формулы еще упрощаются, если - в в е с ти в рассмотрение комплексный потенциал W. При обтекании сам контур есть одна из линий тока, т. р. функция тока ф = const. Поэтому, вводя функцию комплексного пере менного иг = <р4/ф, на контуре имеем: V/ ==

= — Y p - 2 т.і • 2С„С, = — 2pWQCi .

( I l l )

Из (109) можно выяснить механический смысл коэфициента С 0 . В бесконечности (при s = 00) очевидно, что (S) (' 12 >