Гидротехнические сооружения. Том II

Для прямолинейного бесконечного вихря, распо ложенного параллельно оси OZ, формулы (99) после интеграции дают:

решения которых: А ѵ =

1 Г 2 ш. ѵ 9т . / - 1 С 2wyd~. 475 _ г 1 ' 2о), 9 -

L у—У ' 2к ' г,а I

А ѵ =

(93)

(100

f,2

" = 24 w = О

а в векторной форме:

1

2ш 9т

где р = ]/(х — х)2 + (_у __y)ä _ расстояние от вихря до рассматриваемой точки с компонентами скорости и, V, w. Найдем комплексную скорость и комплексный потенциал такого движения. Комплексная скорость: dW dz , І Ѵ = _ І І У - У ) + І(х- 2* р* -X) где : z = х -f- iy\ z = л -f- iy. Если вихрь проходит через начало координат то z = 0 и dW dz ' 2г. i Интегрируя, находим; (101' ) J_ 2 m z 1 Интересно отметить, что формулы теории вих рей чрезвычайно схожи с формулами теории электромагнетизма для случая магнитного поля тока, текущего но проводнику (ср. закон Био и , 'Савара). г) Вычисление поддерживающей силы потока Пусть плоскопараллельный поток обтекает бесконечный цилиндр, ось которого направлена по оси OZ. Сечение цилиндра плоскостью ОА'У ограничено некоторым замкнутым контуром. Проекция равнодействующей сил давления Р, приходящихся на единицу длины цилиндра, на оси X и У, очевидно, равна Ц7 = 2 т.і in z. (102)

А —

4 - J /" Таким образом окончательно <] =

-j-1/., — grad 9 -f- rot А, _ 1_ Г 99т ? - 4 - J г ' _1_ Г 2ш ск 4 iz J г • Л =

(94) (95)

(96)

(101 >

Для одной вихревой трубки интенсивностью I = 2шт, находящейся в массе несжимаемой жид кости, из формулы (94) имеем: 9 і = 0 , (97) так как 0 = 0 и 9 = 0 из-за несжимаемости жид кости, и 7 = 7 j = rot Л . (98) Обозначая элемент длины трубки через ds, пло щадь поперечного сечения через сг, получаем: 9 - = о • ds. Замечая, что . , dx u> r = о) cos (ш, .г) = ш • - , ; ' ds dy . « v = ш - - ; ds

dz_ ds '

= (О

из (93) имеем: 1 Л. ѵ = 471 ,

dx ds

• 9«

Г 2<в. ѵ 9

T" f 2 - 4 т: J

1 / 7

9a:

/ /' 9.7

и аналогично:

(103)

Ли = -T 475 /-f' " - / J

92 г

где интеграл берется по контуру. Момент M сил давления относительно начала координат найдется по известной формуле ста тики. В данном случае:

Вычитая составляющие скорости q (и, ѵ , да) по формулам для проекций вихря из уравнения (94), имеем окончательно:

dy ds , 92 ds

ds_

1 " = 44

У - у г

(^px-dxArpy-dy.

(104)

M ••

ds

г

I'-

dx

Эти формулы можно преобразовать, воспользо вавшись интегралом Бернулли. Пренебрегая внеш ними силами, имеем: f = С - \ [ ді. (105)

9s

2

X —X

(99)

ds

— U

С I л—.v dy

ds_

y—y

dx ds

ll)

= 4т:

r

ds

r