Гидротехнические сооружения. Том II

Далее, направления обходов контуров L\ и L s противоположны; отсюда

Из (87) следует, что гд может быть рассматри ваемо в виде градиента некоторой скалярной функции (так как вихрь от градиента скалярной функции всегда равен нулю) 'h — grad с?. (89)

или

(83)

1 L = 1 , ,

Подставляя значение <д из уравнения

(89)

Œ что и требовалось доказать. Это можно сформулировать еще иначе: так как контуры L\ и L s ограничивают малые площади с-! и so, где « можно считать постоянным, то из : (69) вытекает: І Г і = І ; = 2u>! О! = 2ш 2 о 2 = const. (84) Величина 2ша называется напряжением или интенсивностью вихревой трубки. Таким образом, напряжение трубки есть величина постоянная. Из уравнения (84) вытекает важное следствие: 1) вихри не могут оканчиваться в жидкости, так как в противном случае, продолжая поверхность трубки далее места обрыва вихря (рис. 18), ока одной границы жидкости до другой; 2) частицы жидкости, образующие в данный момент вихре вую трубку, в любой другой момент будут обра зовывать то же вихревую трубку. Иначе говоря, вихревое движение есть свойство физических частиц жидкости, не передаваемое другим таким же физическим частицам. Эта теорема получается как прямое следствие теоремы Томсона. о) Определение поля скоростей по известному • полю вихрей Для дальнейшего потребуется определение поля скоростей по заданному нолю вихрей. Задача формулируется так: известен вихрь скорости i» и расхождение скорости 0 (диверген ция) в каждой точке пространства. Найти вектор скорости q. Таким образом имеются уравнения: залось бы, что напряже ние трубки обратилось в нуль. Отсюда вытекает, что в жидкости вихри могут быть или замкну ты, или простираться от I Рис . IS 4 — 4\ + Я* (86) где qi — скорость, зависящая только от дивер генции [при этом согласно известным соотноше ниям векторного анализа rot q y — 0], a

в уравнение (88), получим:

0.

(90)

Ѵ * ~ dx*

Oy*

dz*

Уравнение (90) играет большую роль в мате матической физике и называется уравнением Пуассона. Доказывается, что ? имеет единственное реше ние: і/ Od V { х - X)* + с - У ? ?•)'• 1 Г Od- - 4к J г • (91) где; интеграл распространен на весь объем, 0 + 0, dx — элемент объема, Г = У (X — xf + ІУ — У)* + (Z— Z)* *г расстоя ние от точки ( х , у , z) рассматриваемого объема до какой-либо точки пространства (х, у, z),

О есть функциях, у, z. Для скорости q 2 имеем:

rot q 3 = 2ш div q 2 — О

(88' )

Представим q 2 в виде вихря некоторого век тора А. Тогда из (88') rot rot А - div rot А = 0 (89' )

Из векторного анализа известно, что rot rot À = grad div A — Л 2 Л. Подставляя в (88'), получаем:

(91' )

(92)

grad div Л —у 2 A = 2u>.

При определении вектора À постоянная инте грация будет градиентом произвольной скаляр ной функции Ф, гак как_ _ rot (Л - f grad Ф) = rot А + rot grad Ф = rot A.

чтобы в (92)

Функцию Ф можно выбрать так, обратился в нуль член grad div Л. Тогда будем иметь

_ Ѵ 2 Л = 2Û

или в координатах:

— V 2 Ах = 2о>. ѵ , — V 2 Ау — 2ту, — V 2 Ах = 2ш-,

г p;