Гидротехнические сооружения. Том II

безвихревое или вихревое движение не может ни создаться, ни пропасть. Такой результат заставляет искать причину образования вихрей в невыполнении тех усло вий, при которых выведена теорема Томсона. Эти условия следующие: внешние силы имеют однозначный потенциал; плотность есть функция одного давления, то есть р = р (р)', жидкость идеальная. Таким образом при соблюдении первого усло вия, например для случая силы тяжести, при чины образования вихрей следует искать, с одной стороны, в вязкости жидкости, с другой, когда плотность определяется не только давлением, но и другими •факторами, например температурой, влажностью (для газов), соленостью и др. Это последнее обстоятельство было установлено и доказано В. Бьеркнесом. Т е о р е м ы Г е л ь м г о л ь ц а . Циркуляция по контуру, охватывающему вихревую трубку, во всех точках одна и та же. Понятие о вихревой трубке совершенно тож дественно с понятием о трубке тока. Линия, ка сательная к которой совпадает с направлением вихря в этой точке, называется вихревой линией. Вихревые линии, проходящие через малый зам кнутый контур, образуют вихревую трубку (рис. 16).

Очевидно,

Л ( -(Ьх) = ги.

(71)

Из уравнений Эйлера

du dt

L др [j дх

(72)

X-

то есть

d dt (и ох) = fa— ' ЛЕ^ дх + и Zu. (73)

Аналогичные равенства имеют место для проек ции на оси Y и Z. Если существует однознач ный потенциал IJ, т. е. такая функция, что

дх

у _

àU

(74)

"ду

dU dz

то, подставляя в (73) и складывая, получим:

-^-(rz ох + V By-j-te» оз) = — 8 U~ ~ + у

(75)

Интегрируя по кривой от А до В: (В) Г (и bx-\-vZy-\~w 82) (Л) d dt

( ß )

- u - f f + 4

(75')

(Л) -

Рис. 16

Рис . 17

Но (В

(Я) juZx-\-VÔy-]-WÔz = I q 8/ cos (q, о / ) .

(76)

Диференциальиое уравнение вихревых линии, очевидно, есть dx dy dz О) ѵ * Wy to, Выделим двумя сечениями с площадями с, и участок вихревой трубки. Значение вихря пусть будет Ш] и шо. Разрежем трубку вдоль образую щей и рассмотрим замкнутый контур L b L : i , L i (рис. 17). Из уравнения (69)

( Л ) (Л) В случае замкнутого пути, когда точки А и В совпадают, можно написать / = с|3 q • о/ • cos (q, ST) = z=(ßuox-]~vZy + woz. (77) Если потенциал U однозначен, то в случае замкнутого контура, т. е. когда точки А и В совпадают, правая часть (75') обращается в нуль. Тогда

1 = 2 j (и>, п л ) ds-\- 2 j и> cos ( u», rii) ds. (80)

dt dt = 0

(78)

Очевидно, что для всякого контура, лежащего целиком на поверхности вихревой трубки, cos (ш, ni) = 0 и следовательно І — 0. Таким обра зом 7/., +1.. + L, + (81) но одной и той же линии разреза, но в разные сто роны, то они взаимно уничтожаются. Так как циркуляции и 7 направлены

(79)

f = const.

Уравнение (79) и доказывает теорему Томсона. Из теоремы Томсона вытекают очень важные следствия: в случае однозначного потенциала внешних сил вихри в жидкости не могут по явиться, если их ранее не было, и исчезнуть, е слн они раньше существовали. Иначе говоря