Гидротехнические сооружения. Том II

один из замкнутых путей второго потока. Возь мем интеграл от скорости по этому контуру с, называемый циркуляцией скорости. і = ф q dl- cos (q, dl), (66) dl — элемент длины контура. Если этот интеграл не равен нулю, то, оче видно, существует поток, обтекающий тело по замкнутому пути, отсюда и давление потока бу дет больше нуля. Если же І = : 0 , то и давление на тело равно нулю. Таким образом источник давления заключается в циркуляции скорости. Направление циркуляции в дальнейшем будем выбирать так, чтобы при обходе замкнутого кон тура по часовой стрелке площадь, ограниченная где t — орт касательной к контуру с. Если контур с ограничивает какую-либо по верхность s, то по известной формуле Стокса / = Г (rot q, /г ( ) ds, (67) где и ,—орт нормали к элементарной поверхно сти ds. Так как rot q— 2о> , (68) где « — величина вихря, то / = 2 ! (ш, /;,) ds. (69) Эти формулы показывают, что циркуляция не равна нулю тогда, когда внутри контура имеются вихри. Вне контура поток может быть потен циальным. у) Основные теоремы теории вихрей Как видно из вышеизложенного, циркуляция и вихри неразрывно между собой связаны. Поэтому для дальнейшего необходимо остановиться на основных положениях теории вихрей. Теоремы о вихрях проще всего вывести из теоремы Томсона о постоянстве циркуляции в случае существования однозначного потенциала внешних сил. Т е о р е м а Т о м с о н а . Если внешние силы, действующие на жидкость, имеют однозначный потенциал, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру постоянна. Выделим в движущейся жидкости кривую ли нию AB. Возьмем па кривой AB две бесконечно близкие точки M, М' с координатами х,у, z и х-\-Ьх, y-\-ày, z + bz. Знак 5 взят в отличие от обозначения дифеоенциала d, так как он отно сится к движущейся кривой. Компоненты ско ростей этих точек пусть будут соответственно и, V, w и и -j- 8м, V -f- Ъ ѵ , w -f- 8w. Можно напи сать, согласно правилам дифереициального исчис ления контуром, оставалась справа. В векторных обозначениях 7 = (f) (q, t)dl, (66')

Вообще говоря, нужно иметь в виду, что все вышеизложенное касается только идеальной жид кости. В практике же все жидкости более или менее вязки, причем силы вязкости, как бы малы они ни были (например для воздуха), все же от личны от нуля. В этом случае парадокс Эйлера также исчезает. Для вывода формул для вычисления давления потока на тело необходимо ввести в рассмотре ние влияния вихрей; поэтому необходимо оста новиться сначала па основных элементах теории вихрей. ß) Циркуляция скорости Как было уже сказано, парадокс Эйлера резко противоречит опыту. Одно простое соображение позволяет указать источник давления. Пусть по ток обтекает контур, в котором срыв струй прак тически сведен к нулю (рис. 14), например крыло самолета. Г £

Из опыта известно, что при небольшом наклоне крыла развивается довольно значительная подъем ная сила, направленная снизу вверх. Пусть р\, — давление и скорость в верхней части крыла,р 2 , q 2 — e нижней. Согласно интегралу Коши, для установившегося потенциального по тока (пренебрегая массовыми силами)

Рі . <7?

Р-1 , <72

(65)

Так как из опыта р., > Р\, то из уравнения (65) должно быть q 2 < Vi- Это можно представить следующим образом (рис. 15): предположим, что

Рис . 15

на основной поток, имеющий скорость q 0 вдали от контура, наложилея поток, обтекающий кон тур по замкнутому пути так, как указано на чертеже. В результате подобного совмещения потоков результирующая скорость вверху (

^ 0 H x ) = f - b x + u d T . ( Z X ) .

(70)