Гидротехнические сооружения. Том II

Изопотенциальные линии:

По самому определению аналитической функ ции [см. уравнения (56), (57)] dW д'? . . <5Ф ——— s "г 1 г — ti- de ох их • і ѵ , (59) причем dW dz = \J и* -f- v'i = q. Таким образом, зная функцию потока 117, из уравнения (59), отделяя действительную и мни мую части производной, можно найти скоростное поле. Примеры н е к о т о р ы х ф у н к ц и й п о т о к о в А. VI7 — az. Отделяя действительную и мнимую части имеем: W = 9 4- i -V = a (x-f iy) = ах 4 і ay. (60)

9 — а (х 2 — у*) = const Ф = 2а ху = const

линии тока:

(64)

Линии равного потенциала и линии тока обра зуют семейство гипербол, причем для первых

r-ioxijmv

Т-аЧх'-^ат

Рис. 13

Рис. 12

Отсюда

9 = ax I ф = ay j '

оси координат служат осями симметрии, а дли вторых—асимптотами (рис. 13). Оси коордннат очевидно являются одной из. линий тока, для которой можно положить Ф —О и которую можно принять за твердые границы жидкости. Отсюда поток, определяемый функцией HУ = az 2 , можно рассматривать как установив шееся безвихревое движение внутри прямого угла. Таких примеров можно предложить сколько угодно. Гораздо труднее решается обратная задача: найти функцию потока для данного плоского безвихревого движения, например для обтекания какого-либо тела. в) Обтекание твердого тела идеальной жидкостью. Парадокс Эйлера в) Парадокс Эйлера Как видно из вышеизложенного, безвихревый поток является одним из наиболее простых по токов, так как он вполне определяется одной функцией — потенциалом скоростей. Тем не менее, несмотря на эту простоту, практическое прило жение результатов теории наталкивается на сле дующий парадоксальный факт: безвихревый но ток, непрерывно обтекающий твердое тело (без срыва струй), не оказывает на тело никакого давления. Этот результат называется парадоксом Эйлера. Иногда его называют также парадоксом Даламбера. Этот вывод находится в резком противоречии с опытом, так как хорошо известно, что сила давления потока на тело никогда нулю не рав няется. Противоречие устраняется, если предпо ложить, что присутствие тела вносит в поток такие пертурбации, которые в бесконечности н е и с ч е з а ю т . Так например, если предположить, что в присутствии тела скорость потока в беско нечности не постоянна, то и парадокс Эйлера исчезает. Далее, если предположить, что за телом обра зуются застойные области жидкости, простираю щиеся в бесконечность, то парадокс Эйлера также пропадает. Этот случай разбирается в теории струй.

(61)

Из уравнений (61) следует, что изопотенциаль ные линии 9 = const и линии тока Ф = const суть прямые, параллельные координатным осям X и Y (рис. 11), если а — действительно.

q-o

Vfconsi

p-cansi

Рис. 11

Далее,

: Six Ox

— a,

0,

Oy ~ (/ = r/ = a, V =

т. е. поток представляет прямолинейное течение с постоянной везде скоростью

Б. \ Ѵ = яг 2 (а — действительно). 117 а (х + іуу = а (л? —у* + 1і • ху) — а (х 2 — _ ѵ 2 ) -f г • 2 ах 2 ,

(62)

dW _ dz ~

• і ѵ — '2аz.

(63)