Гидротехнические сооружения. Том II

Если ноток безвихревый, то легко обнаружить следующую ' связь между функцией потока 6 и потенциалом скорости 9: _ 9 ? 9л f = (54)

так как иначе условие (р.Ь _ 9 2 6 ду дх ~ дх ду' обусловливающее возможность существования 6 не будет выполняться. Легко видеть, что уравнение (45) как раз есть условие интегрируемости (46'), т. е. существует такая функция 6, что: 96 , 96 Ѵ = , и = 4 " - g — , дх ' ду 9 6 = — V dx tidy = О, и 6 = const (47) (47') (48)

t ду ' 96 fix '

96

м =

(55)

т. е.

j » 6

9у 9_у

, 96

дх (56) Уравнение (56) показывает, что 9 и 6 связаны между собой. Эти же уравнения одновременно являются из вестными условиями Коши-Римана, согласно кото рым комплексное выражение ЦТ = 9 + г6 (г' = = V — 1), есть аналитическая функция комплекс ного переменного z=?x-\-iy, т. е. W = f(z) или 1 1 7 = 9 + 7 6 = / ( л - + іу). (57) Теория функций комплексного переменного является в настоящее время одним из наиболее полно разработанных отделов математики, и при менение ее в гидродинамике привело к чрезвы чайно плодотворным результатам. За плоскость комплексного переменного при нимается плоскость течения ХОУ , причем веще ственная единица + 1 и мнимая единица і = у' — 1 рассматриваются как орты, отложенные по осям ОХ и OY (рис. 10). Легко доказать, что линии ® = const и 6 = const образуют ортогональную сеть. Действительно, из уравнений (54) и (55) следует, что дч 96 , 9» 96 дх , дх г ду д ѵ •0, (58) что является условием ортогональности семей ства линии 9 = const и 6 — const (рис. 10). Очевидно функции 9 и 6 равноправны, т. е. математически возможно заменить семейство линий <р = = const семейством 6 = const и обратно. Уравнения (56) да ют возможность про стым интегрирова нием найти ф, зная 6 , р И с- to и обратно. Как <р, так и 6 удовлетворяют уравнению Лапласа и сле довательно являются гармоническими функциями. Введение в гидродинамику плоского потока функции комплексного переменного дает возмож ность полностью описать поток одной функцией W=/(z). Отделяя действительную и мнимую части этой функции, получаем значение потен циала скорости и функции тока или обратно. Выбор следует сообразовать с конкретными усло виями потока. Функция W называется комплексным потен dW циалом. Производная называется комплекс ной скоростью. ~ *9у ' 9л" t-const

для каждой данной линии тока. 6 называется функцией тока.

Если на плоскости провести произ вольную кривую, со единяющую любые две точки А, В

-•X

1

Ѵ ,Д5

(рис. 9), то легко ви деть, что расход жид кости через кривую будет равен разности значений функций то ка в этих точках: не зависимо от вида кривой расход через кривую есть L , (< _7. _ ")ds - Рис . 9 j [и cos ( 7 х) 4 - V cos (г*, у)) ds = А) ( А )

(В)

(В)

+

fvdx-udy

=

(А)

(А)

(А)

(А)

=

f — ü 9 л - f н d y = J 96 = 6 Л — 6 ß ,

(49)

(В) (h что и требовалось доказать. fi) Связь плоской гидродинамической с теорией функций комплексного переменного Из всего вышеуказанного следует, что плоско параллельный поток характеризуется аналитически следующими соотношениями: du ji^ дх ^ ду и — уравнение неразрывности, w _ _ 1 (д ѵ ди\ , 2 1 дх W ) t ° (50) (51) задачи

ествования вихря, условие существования вихря

(52)

w

2 I дх

ду)

— условие отсутствия вихря и одновременно условие существования потенциала скоростей % причем

ОЪ

(53)

У 2 г =

Ох 2