Гидротехнические сооружения. Том II

Подставляя значения и, ѵ , w из (42) в уравне ние неразрывности, получаем для несжимаемой жидкости: ди_. д ѵ dw _ д-<р dip дЪ _ (44)

Проектируя уравнение (41) на оси координат, получим: др ÖJ д-р ду и = ' дх V — (42)

или сокращенно

Ѵ 2 Ч» = 0.

=

d JL dz

Уравнение (44) есть знаменитое уравнение Лапласа. Всякая функция, удовлетворяющая этому уравнению, называется гармопической. Та ким образом для безвихревого движения несжи маемой жидкости задача сводится к определению функции, гармонической внутри области, занятой потоком и принимающей на границе потока дан ные граничные значения. Эта задача называется задачей Дирихле, и к решению ее сводится ряд вопросов математической физики. Если движение жидкости тождественно во всех параллельных плоскостях, то поток называется двухразмерным или плоскопараллсльным. В этом случае для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности дает возможность связать с любой линией тока значение определенной функции, постоянной на каждой линии тока. Действительно, принимая плоскость, параллель ную течению, за координатную плоскость XOY, имеем (очевидно, w = 0): du д ѵ дх ду 0 (45) Диференциальиые уравнения линий тока есть dx _ dy и ~~ V (46) (46' ) Из теории диференциальных уравнений изве стно, что уравнения вида M {X, у) dx + N (X. у) dy = 0 могут быть представлены в виде полного дифе ренциала некоторой функции 'Ь (х, у), т. е. db = Mdx'+ Ndy = 0 при условии, что дМ _ <)N ду ~~ дх ' являющемся условием интегрируемости. Действительно, если М = дЬ дх ' ду » то функция Ф может существовать только при дМ JW ду ~~ дх ' — V dx + и dy — 0. б) Плоскопараллельный поток а) Функция тока ди дх д ѵ ду (45 ' )

Удобство заключается в том, что вместо опре деления трех неизвестных функций и, ѵ , w задача сводится к определению только одной неизве стной Функции у , частные производные по коор динатам которой вполне определяют скоростное поле. Функция у называется потенциалом скорости. Легко доказать, что существование однознач ного потенциала скорости возможно только при безвихревом движении. Как было доказано выше [см. уравнение (26)], вихрь скорости есть

о> = 2 rot Ч

или в проекциях:

1 (dw 2 U y 1 (du

д ѵ \ dz ) dw\

(43)

2 \dz ~дх) 1 / д ѵ

ди\

2 \дх

ду) ,

Подставляя значения и, ѵ , w системы (42) имеем: , _ à fdp^x • v ~ 2 L ду \dz J dz \ду)

о

=

2 \ dz ду ду dz / 1 ÏJL ( д ? \ _ 0 № \ 2 dz \дх) дх \dz )

(43' )

2 \dxdz ±\-±(д ? \_

dz дх J

д (др\~ ду \дх),

2 [дх \ду)

_ 1 /

Щ

\ _

2 [ду дх

дх ду) ~

так как из анализа известно, что порядок част ного диференцирования не отражается на вели чине производной. Из уравнений (43') непосредственно вытекает, что

rot < 7 = 0 ,

т. е. при условии существования однозначного потенциала скорости — движение безвихревое.