Гидротехнические сооружения. Том II

Полученный результат гласит, что выражение, заключенное в скобки, не зависит от коордннат X, у , z и может зависеть только от времени:

известно из векторного анализа и как ниже бу дет доказано, всегда существует такая скалярная функция -f, градиент которой есть вектор q, т. е. q = grad tp dz Возьмем уравнение движения в виде дд~ . . / [см. уравнения движения в форме Лэмба, уравне ние (15)]. Так как rot q = 0, то подставляя

д £+~~ 2 -?+ и+р=т,

(38)

где f(t) — произвольная функция времени. Этот интеграл уравнений движения называется интегралом Лагранжа-Коши. Для несжимаемой жидкости, находящейся под действием силы тяжести, Р = - 1 ' , и уравне ние (38) обращается в

^ +

(38' )

В случае несжимаемой жидкости уравнение неразрывности есть du д ѵ !_ dœ> _ Q дх ' д ѵ dz ~ ' v i ? e J 5 L + Ü l 4 Ü . = = о дх* 1 ду* ^ dz* и - ^^ Уравнение (39), как известно, называется урав нением Лапласа. Таким образом полное решение задачи об опре делении безвихревого движения сводится к реше нию уравнения Лапласа, т. е к нахождению одной функции <р, удовлетворяющей этому уравнению и начальным и граничным условиям. Давление р найдется из уравнения (38'), а про извольная функция / ( ( ) найдется, если будет заранее дано поведение р в одной точке поля. При установившемся безвихревом движении поле скоростей и давление от времени не зави да сят, = 0, и произвольная функция / ( ( ) обра щается в произвольную постоянную, т. е. у / 2 4 t / 4 Я = const. (40) Это уравнение чрезвычайно схоже с уравнением Бернулли, но обязательно нужно иметь в виду, что в уравнении Бернулли С есть величина по стоянная лишь для одной и той нее линии тока, в то время как для установившегося безвихре вого движения, значение const из уравнения (40) одинаково для всех частиц движущейся жидко сти. 2. ВИХРЕВОЕ И БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ а) Потенциал скорости В ряде задач математической физики, частью которой является гидродинамика, удобко опре делять вектор, как градиент какой-нибудь скаляр ной функции. Пусть вектор скорости q есть гра диент скалярной функции ср: : grad 'f. (41) (391 ѵ у