Гидротехнические сооружения. Том II

1) массовые силы имеют потенциал, т. е. если существует такая функция U — U(х, у, z), что X — — dU dx ' у т . ду' Z — • dU, dz ' 2) если известна зависимость Р — Р (<>)• Тогда уравнение (32) перепишется: — dU—d где все диференциалы взяты при перемещении вдоль некоторой линии тока. Интегрируя, получаем: U+EL 1 + dp (33) Необходимо иметь в виду, что С есть величина постоянная только на данной линии тока, по вообще говоря меняющаяся при переходе от одной линии тока к другой. Интеграл (33) называется интегралом Бернулли Эйлера. Для несжимаемой жидкости (f. = const), нахо дящейся под действием силы тяжести, уравне ние (33) обращается в обычное уравнение Бер нулли, лежащее в основе всей гидравлики. Напра вив ось 07. вертикально вверх, имеем выражение для потенциала силы тяжести: Z = dU dz ' U = gz -(- const, где g == 9,81 м!сек' г — ускорение силы тяжести. Тогда: gz + ^ + f = C или, поделив на g и обозначив р g== t (удельный вес), Ч- -2g -+ т С. (33') той. ,у— есть та высота, на которую поднялась В уравнении (33') z есть высота рассматривае мой жидкой частицы над некоторой горизонталь ной плоскостью и называется нивелирной высо Ч 2 g бы материальная точка, брошенная вверх со ско ростью q; она называется скоростной высотой Наконец есть высота покоящегося столба жид кости с весом единицы объема у, создающего р давление р у своего основания; , называется пьезометрической высотой. Ура внение (33') гласит таким образом, что сумма трех высот — нивелирной, скоростной и пьезометрической — есть величина постоянная для любой точки одной и той же линии тока. у) Интеграл Ко ши-Лагранжа Другого вида общий интеграл можно вывести для безвихревого движения. Если в каждой точке вихрь скорости есть нуль, т. е. rot q — 0, то, как

трудности. Задача решается в общем виде точно до конца лишь для простейших конкретных слу чаев. Однако ряд задач допускает значительные упро щения. Например, ряд движений можно рассмат ривать как установившиеся, что упрощает иногда рассмотрение вопроса. Далее существует обшир ный класс безвихревых потоков, допускающих также более или менее полное исследование вопроса. Также в ряде практических задач дви жение в трех измерениях можно в силу симмет рии свести к двум, а иногда и к одноразмерной задаче. Но и при этих упрощающих условиях очень часто встречаются такие трудности, что задача до конца не решается. Еще более сложно обстоит дело, как будет дальше видно, если учитывать вязкость. Ниже выводятся общие интегралы для про стейших случаев движения идеальной жидкости. [Л Интеграл Бернулли В случае установившегося движения можно без труда найти общий интеграл эйлеровских урав нений движения. Как известно, в случае установившегося движе ния линии тока совпадают с траекториями. Возьмем основное, уравнение движения (см. уравнение 30): (F — ~а ) р — glad // é= 0. (31 } (31') Умножим уравнение (31') скалярно на элемен тарное перемещение жидкой частицы вдоль линии тока q • dt: (F, q dt) grad/i, q dt или X • и dt - f Y • V dt + Z àp .. .„ , dp w dt дх и dt Л-ZZ..V dt 1 ду - ( f ) dp dz w dt. Замечая, что udt — dx, vdt = dy, w dt можем написать: — dz X dx - f Y dy -j- Z d. T ) Лі dz dz^j . Так как движение установившееся, то р ~ ~р(х, у, z), и выражение dx • dy -)- f Л ~ ( jz есть полный диференциал tip, т. е. окон чательно: _ dp р; Это уравнение может быть легко проинтегри ровано, если: Xdx + Ydy + Zdz — d ( f ) (32) Замечая, что а — dt можно переписать (31) в виде: F- dq 1 . "rff ~ 7 Р ' ? \ àx ду dy