Гидротехнические сооружения. Том II

(так называемый тензорный эллипсоид), уравне ние (24) можно представить в виде:

— скорости сдвига (изменения прямых углов) в на правлениях, параллельных к о о р д и н а т н ы м плоскостям OXY, ОYZ, OZX. д) Интегралы уравнений гидродинамики а) Начальные и граничные условии Решения диференциальных уравнений гидроди намики, как уравнений с частными производными, будут содержать произвольные постоянные и произвольные функции, которые при решении конкретных задач нужно подчинить добавочным условиям для достижения определенности реше ния. Эти условия могут быть, двоякого рода: начальные условия, которые должны выпол няться во всех точках пространства, занятого жидкостью, для начального момента времени t = 0; пограничные условия, которые должны выпол няться на границах жидкости в любой момент движения. Математически это можно записать так. Начальные условия дают поле скоростей в на чальный момент, т. е. решения и (х, у, s, t), v(x, у, z, t), w(x, y, z, t) для момента времени t = 0 должны обращаться в наперед заданные функции координат: Если жидкость среди своих границ имеет не подвижную стенку, сквозь которую она не про никает и к которой прилегает без образования пустот, то пограничное условие заключается в ортогональности нормали к стенке и скорости ча стиц вдоль стенки. Если уравнение неподвижной стенки F{x,y,3) = 0, (28) то косинусы углов нормали с осями координат dF dF dF пропорциональны величинам , у - , -^р и по граничное условие есть (в виду ортогональности скорости и нормали) dF , dF dx 1 ду Легко доказать также, что для подвижной стен ки, уравнение которой есть F(x, у, z, 0 = 0. (28') ѵ + ÖF dw w = 0, (29) пограничное условие есть dF , dF , dF tt+ nr: • v-j-- dx dv dz i d h A ® + = o. (29') Иного рода пограничное условие должно вы полняться для свободной поверхности жидкости, граничащей с пустотой или с воздухом. Так как там давление окружающей среды постоянно, то должно выполняться пограничное условие вида р (х, у, z, t) = , const. (30) Интегрирование диференциальных уравнений гидродинамики при соблюдении начальных и гра ничных условий представляет собой необычайные U (X, у, Z, 0)'—U[ (х, у, z) v(x,y. z, 0) — t'i (х, у, з) j . (27) w (х, у, z, 0) = w, (х, у , z) Известные функции u h v h Ш] и определяют начальные условия. Пограничные условия могут быть нескольких видов.

X — (rot q) x • z]

+ J . dF — 1

— — k ' "f t ( r oU / ) v " y ( rot ,j) y '

+

i r d F + *' dJ

(25)

или

1 - -1 , - dP . 2 " r o t < ? ' £ | + ' dx +

< 7 = <7o +

Y - d F . - r r

dP

(25')

Как известно из теоретической механики, ско рость о точек вращающегося твердого тела опре деляется из формулы v — К г], где <и — вектор угловой скорости, направленный по оси вращения, г — радиус-вектор движущейся точки до не подвижной точки оси. Если обозначить о) = — [rot q], е = Г, то уравнение (25') можно окончательно записать в виде: ~ч = 7с + К г 7 ! + Ï - дх + . -, OF , - dl- + J ~ d y + k dz ' (26) Уравнение (26) показывает, что движение жид кой частицы складывается из движений: а) поступательного со скоростью г/ 0 ; б) вращательного вокруг мгновенной оси, про ходящей через точку О с угловой скоростью <и = 2 rot q, именуемого вихрем; в) движения с компонентами скорости dF OF dF dx' dy' dz именуемого деформационным. Очевидно дефор мационное движение или деформация определяется симметричным тензором 7\ [см. уравнение (23')]. Как известно, компоненты его dit dx а у У = dv dy' dw ~dz дают скорости растяжения жидкои частицы в на правлениях ОХ, OY, OZ, а компоненты 1 f du . dv\ а Х у — ciух = 2 \ ~dy ~àx ) ' 1 / dv , dw\ = 2 ldF+ dy)' 1 / dw , d«\ Y\Tx + dz) a>x = a Y