Гидротехнические сооружения. Том II

du dx'

1 (du . д ѵ \

1 / du , dw \

Равенство (22) представляет собой случай ли нейной зависимости между векторами q 0 и q. Эта зависимость дает закон получения вектора q из вектора q 0 и определяется девятью коэфициента ми — членами матрицы (23), совокупность которых называется тензором второго ранга или аффино ром, а члены матрицы — компонентами или соста вляющими тензора. Общий вид тензора второго ранга дается мат рицей а хх а ху a xz а ух а уу a yz O-zx a zy a zz Этот тензор дает возможность из какого-либо вектора г с компонентами r x , Гу, r z получить дру гой вектор Г|, по закону

'2\~dy^~ dx)' 2 \~dz +

dx)

1 / dv

du \ д ѵ

1 (dv

dw^

2

~*~~dy) ' dy ' 2 l ~dz + ~dy 1 " r

1 / dw - du \ 1 / dw , dv \ dw T \dx-~ l ~ ~TzJ ' ~2 { ду ~ dz) ' dz (du _dv\ 1 fdu __dw\ ' 2 V.dy ~~ d x ) ' 2 l"dz Tz)

de)'

2 {dy

dv)'

2 W *

И уравнение (22) можно после несложных пре образований (меняя тензоры местами) представить в виде:

гі=7 (а Х х г х + а ху гу -f- a xz r z ) -f + j (аух r'x + a yy ry -f- a yz r z ) -f 4~ (Pzx r x + a zy ry + a zz r z ).

dw\

ди dz

d = do + î- j [ ( ( dv du \

1 , — Г du

.

Сокращенно это можно записать 7i = (T x r), где T—символ тензора.

Тензор, в котором члены, не стоящие по диаго нали, попарно равны, называется симметричным. Легко видеть, что он определяется только шестью компонентами. Если же -эти члены равны и про тивоположны по знаку, то тензор называется антисимметричным. Если взять два тензора "и составить из них третий, у которого компоненты равны суммам соответствующих компонентов первых двух, то получится тензор, называющийся суммой первых двух тензоров. Порядок сложения, как легко до казать, роли не играет. Обратно, всякий тензор может быть представлен как сумма двух тензоров, симметричного и антисимметричного. Действительно:

, — Г 1 / du , ди\

, dv

1 I I dw _ д ѵ \ . 2 [ I dy d z )

И + ( У У du dz dw du dz + -ô \dy^"dz

dw dz 4

a x y

ayx a X z 4~ a z x

a x .

а хх, а ху, а хг

(24)

2

ХУ + -;

'

т~

'

ayx 4 - a xy „ 2 az X + a xz a zy + ayz 2 — ' " г - " 2 ' УУ'

a yz 4 ' a zy

+

аух. а уу> ау,

Обозначая [см. первый тензор правой части уравнения 23'): ди _ ~Ш- ахх '' д ѵ Ту dw = ауу', — azz, I f du , д ѵ \ л . "2 \ dy ^ ~ ~ д х ) = 2 x y = y x ' 1 / dv . dw\ „ . ~2 \ d7 ~dy) ~ Uyz ~

a zx, a zy, a zz

a Z z

+ a a x y — ayx a X z — a ?x 2 ' , 2 ayx — a x y^ q a yz — a zy 2 2 Яг y — a xz a z y —ayz 2 ' 2 , 0 т. е. тензор (23) можно представить в виде: du du du дх ' ду ' dz д ѵ д ѵ д ѵ

2" \~dx' 1 !dw . du\

„ .

и вводя в рассмотрение поверхность 2 F (.с, у, г) = а хх • xi - f а уу • у- 2 + a zz • г 2 4~ 4 - 2 и х> • ху -f- 2ау z • yz 4- 2a zx - zx = const (24' )

дх' dy' ~dz dw dw ûiv дх ' ду ' dz

2 Спрмочннк