Гидротехнические сооружения. Том II

передаче теплопроводностью, седьмое уравнение есть . (VT dz*} ' где А — постоянная, зависящая от теплопровод ности жидкости и прочих физических констант. Несмотря на это для большинства механических задач обычно удается снизить число гидродина мических уравнений до пяти, так как термодина мический характер процесса притока энергии обычно бывает или изотермический ( Т = const) или адиабатный (е = 0). В первом случае пятое уравнение есть р - =— = c o n s t , во втором р - — = const, р* г) Разложение движения жидкой частицы на элементарные: поступательное, враща тельное и деформационное Прежде чем приступить к выводу общих ин тегралов гидродинамических уравнений, необхо димо установить, из каких кинематических эле ментов слагается движение жидкой частицы. Возьмем в движущейся жидкости неподвижную точку О и примем ее за начало координат. Пусть скорость в окрестности точки О есть непрерывная и днференцируемая функция координат. Тогда всегда можно указать достаточно малую область вокруг точки О, в которой скорость будет линей ной функцией координат, причем ошибка будет меньше сколь угодно малой наперед заданной величины. Если скорость в О есть q 0 , то ско рость q в любой другой точке, находящейся в области О и характеризующейся относитель но О радиусом-вектором в, с компонентами .с, у , z, найдется из разложения в ряд Тейлора, где, согласно вышеизложенному, можно пренебречь членами со степенью выше первой: где у . — показатель адиабаты.

где q r , çq , q z —проекция

скорости иа оси цилин

дрических координат г, 0, z. В сферических координатах г, 6, ф (рис. 8): dp _ 1 d(pq -H) . 1 d ( p < 7 0 s l n 0 ) dt Г « + дг 1 Ts in 0~ г sin О d

1 H 3 da 3 + d ( p q s )

d ( p < 7 i )

i

1 d ( p

,

da.

da 2

dt ' Я ,

Ho d (HM,) da 1

d(H s Ho) da 2

t\

+

H v H r H»

мп + 9,

tlMsLl-a

(21)

da, J - 0 ' где / / j , Hi, H,j — параметры Ламэ:

" • - Ѵ Ш Й Щ Щ -

ft) Уравнение состояния В тех случаях, когда плотность р непостоянна, т. е. жидкость сжимаема, нужно иметь еще 5-е уравнение. Это уравнение дается термодинами ческой зависимостью р—р (р). В общем случае исследования движения сжи маемой жидкости оказывается необходимым ввести две новые величины: абсолютную температуру жидкости (Г) и количество энергии (е), получае мой единицей объема жидкости в единицу вре мени. Таким образом всего оказывается семь неиз вестных функций: и, V, w, р, р, Г, е, зависящих от X, у, z, t. Для нахождения этих функций имеются только шесть уравнений: а) три уравнения движения и уравнение нераз рывности; б) уравнение притока энергии, берущееся из первого начала термодинамики: iІТ . р da в = рс ѵ — А — r dt р dt где с ѵ — теплоемкость при постоянном объеме, А—термический эквивалент работы; в) уравнение Клапейрона (для идеальных газов) - = RT (R — газовая постоянная). Седьмое уравнение зависит от способа пере дачи энергии в жидкости. Составление его очень затруднительно, так как эта.передача может осу ществляться путем теплопроводности, лучеиспу скания и конвекции, а в природе обычно всеми тремя путями сразу. В частном случае, при тепло

<Т=

или в координатах: — -./ .

du

ди , ди\ .

^ 1 Ы х д - х + У Т у + 2 ді)

+

i àv . д ѵ \ . 7yoy+ z ôz) + . dw dw\

д ѵ

(22)

+ 7

(ро + -

дх

äw дх

-f k

+ .

У ~dy

Z Hz)

Отсюда следует, что различие скоростей внутри рассматриваемой области от скорости в точке О определяется девятью величинами, а именно част ными производными от проекций скорости q — и, V, w, по координатам х. у, г. Эти девять вели чин можно представить матрицей ди

ди ду д ѵ _ ду

Ê1L dz до Hz dw Hz

дх до дх dw дх

dw

ду