Гидротехнические сооружения. Том II

Отсюда

где

дх dy dz да да да дх ду dz дЬ дЬ дЬ дх ду dz дс дс дс

dv.

f РЧп ds = j div (pq)dr = — j

£> =

Так как объем т выбран произвольно, то д? ' dt' div (р q) = - или в координатах: др. д(ри) dt дх , д (? ѵ ) д (рw) _ Уравнение (18) и есть уравнение неразрывно сти в общем виде. dp Для установившегося течения ^ — 0. Для несжимаемой жидкости р = const и уравне ние неразрывности обращается в + J + ^ = (18') I * 1 ду -Oz дх В случае несжимаемой жидкости легко видеть, что поток скорости через любую замкнутую по верхность равен нулю, т. е. объем жидкости, втекающей в поверхность, равен объему выте кающей жидкости. Это свойство дает возможность иллюстрировать движение отдельных струек сле (18) кулярных к трубке сечения а и b с площадями c j и о 2 , то, применяя предыдущее свойство и счи тая в виду малости сечения скорость в разных точках его постоянной, имеем: dpi ЧР-,. Таким образом произведение'из величины ско рости на площадь перпендикулярного сечения остается постоянным для каждой трубки тока и выражает объем втекающей и вытекающей жид кости в единицу времени. Почти аналогично выводится уравнение нераз рывности в переменных Лагранжа. Пусть одна и та же масса жидкости с плотно стью ро вначале занимает объем т 0 , затем через некоторое время объем т, причем новая плотность становится равной р. Тогда сохранение массы выразится равенством f f f ? 0 da db d c ^ j j f P dx й У dz • (19 ) те T Заменим переменные x, y, z переменными а. b, с. По известному из математического анализа пра вилу преобразования кратных интегралов рdx dy dz = J j* j p-Dda db dc, '0 дующим образом. Вы делим в движущейся жидкости малый зам кнутый контур с и через каждую точку контура проведем ли нию тока. Получен ная трубчатая поверх- • ностыіазываетсятруб кой тока (рис. б). Если провести те перь два перпенди

—функциональный определитель Якоби (Якобиан).

(Po — pD) da-db-dc = 0,

и, в виду произвольности т 0 :

дх ду dz да да да дх ду dz дЬ дЬ дЬ дх ду dz дс дс дс

Ро —• p D = Po— р

(19' )

Рис . 8 уравнение (19' ) и есть уравнение неразрывности в переменных Лагранжа. Иногда удобно пользоваться уравнением нераз рывности в различных криволинейных координа тах. Так например в цилиндрических координа тах /', 0, z (рис. 7) уравнение неразрывности имеет вид; dp dt 1 d(prqr) : 1 + г дг d(pq h ) д(рд 2 ) ' dS dz : :0, (20)