Гидротехнические сооружения. Том II

дает окончательно уравнения движе ния в форме Лагранжа:

В общих криволинейных координатах а и а ь о ;1 уравнения Эйлера принимают вид, аналогичный уравнениям Лагранжа в аналитической механике: J _ f à T \ _ à T _ 0 J L д 1 at I да, ) да, ' S да. { / = 1 . 2 , 3 } , где da, dt

дРІ да 1

6« Ч

ш

, 6'z\ dz _

др

р да

др) да~

дР Jdb'^

6Г< ./66 Г Ѵ

(17)

г\ dz 1 dp J ab " f d b

__(ц5_j_ 1 , 2 _ J _ — ж и в а я сила единицы

^ I (у

J*y\ d y

f у ..

Y

dPjdc^V

dPjdc' dp дс

массы, а п

„дх

,

ду . „ dz

' V

дР ) дс ' Р

Q • = л -X Г К - да 1 1 daI 1 da t обобщенная массовая сила. '

\-Z-x — — так называемая

В практических случаях применение метода Лагранжа оказывается весьма кропотливым. По этому в громадном большинстве случаев пользу ются эйлеровскими уравнениями. Уравнения Эйлера могут быть выведены еще иначе. Рассматривая поток через бесконечно малый параллелепипед, можно вывести уравнения гидро динамики не в векторной, а прямо в координат ной форме. Обычно такой вывод дается в боль шинстве курсов гидравлики. в) Уравнения неразрывности и состояния а) Уравнение неразрывности Уравнения Эйлера содержат в общем случае пять неизвестных величин: и, ѵ , w, р, р, являю щихся функциями аргументов х,у, z,t; уравнения Лагранжа тоже пять величин: x,y,z,p , р, являю щихся функциями аргументов і, а , Ь, с. В обоих случаях пять неизвестных функций связаны тремя соотношениями—тремя уравне ниями движения. Недостающие два уравнения можно получить: из условия сохранения массы движущейся жидкости (так называемое уравнение неразрывности) и из соотношения между плотно стью р и давлением р (уравнение состояния), даваемого термодинамикой. Для вывода уравнения неразрывности доста точно рассмотреть поток вектора рq через неко торую н е п о д в и ж н у ю ! замкнутую поверх ность s произвольной формы, находящуюся в движущейся жидкости и ограничивающую объем т. Тогда, на основании теоремы Гаусса:

Эти формулы получаются при переходе от де картовых координат к криволинейным, для чего должны быть даны функции:

X — X (а,, а 2 . а а> 0> V —у ( а і> «2. а з. /); Z — Z (aj, а 2 , а,, /).

Чтобы получить уравнения движения в форме Лагранжа, за независимые переменные нужно принять время и параметры а, Ь, с. Тогда получим

д*х

62 У йу ~ дР ' 6*z : дР '

Подставляя эти значения в систему уравнений (9), получим:

(Т-х __ 1 др дР ~ р дх

Х

1 др_ С ày 1 dp

ѵ - дг У

(16)

дР '

Z — д-z

дР ~ р dz Умножая уравнения (16) соответственно на дх ду dz

div (р q) dr,

IР4n-ds=

j,

да ' да

да

где dlv (р ~q) =

и складывая, получим:

д (р w) dz

д(р и)

д(р ѵ )

( 6> Ѵ \6у Г - W j W + { Y ~ W ) да + (Рх\дх /

дх ^

ду

a q„ — величина проекции вектора скорости q на внешнюю нормаль п к элементу поверхности ds. Этот поток выражает массу жидкости, вытекаю щей за единицу времени из замкнутой поверхно сти s. Это обстоятельство влечет за собой соот ветственное уменьшение плотности в точках внутри др поверхности s на — dt' Полное уменьшение массы жидкости внутри объема равно, очевидно.

+ Ѵ

дР ) да -

— 1 (àp дх

] à р_ду__ dp dz \ _ 1

àp

" Р \дх да ' ду да Аналогично умножение на

dz ~дй ) ~ ~р~

да

дх 'V ду dz дЬ' 66' дЬ дх д ѵ dz de' de' дс

и на

fad,

•

J dt