Гидротехнические сооружения. Том II

Диференциальные уравнения (9) и являются общими соотношениями между полями скоростей и давлений. Компоненты ускорения а х , а у , а г являются пол ными производными от компонентов скорости и, v, w. Таким образом

где символ rot g означает операцию

i j k JL JL JL dx dy âz U V w

fdw

dv \ — .

rot <7 = І ѵ ,<7] =

du dt

du

dx

\

du

dt

dt

dx

, (du

dw\ - . (dv

du \ —

du

du dz

dz

dy dy ' dt

dt . du

именуемую вихрем вектора g или ротацией. Из (8): (Я, grad q) = - i - grad 92 — \q, rot q\, (13' )

du dt

du

du_

D7 w;

V +

dx '

Oy

dx

dv _ dv , dv ~dt ~~ ~dt dx

Подставляем в (12) н, так как

dy

ày_ dz_ __ dv_ ~àz ' dt " dt

+

dv_ dy

(101

~dt

+

grad q 1 = grad - у q \

~

dv ,

dv

, do 1 dy

w;

dx

1 dz

получаем: 1

dw _dw

. âw d T + d T

dt +

'lä

a- :

grad ^ ç 2 —[ < ? , rot "q] (14)

dt

âw dt + dF

dz —

. dw dy

4

или, в других обозначениях:

dt ~ dt

+

. dw

. dw

, dw

F - у VP —

+ V ( j

- IЧ. rot q}. (14' )

t Подставляя значения a x , a y , а г из (10) в общие уравнения движения (9), получаем уравнения, выведенные впервые Эйлером: X — JL ÈL. P dx у L д Р du . du . du . du • -3— 4 - и з С V з w - dt 1 dx 1 dy dz dv . dv , dv , dw ST + " J— + О -5 Г W -3—

Проектируя уравнение (14) на оси координат, получим уравнения в форме Лемба, выведенные также Громеко (Казань), представляющие простое преобразование уравнений Эйлера:

получим:

\ rot q = <»,

Обозначив

(И)

у 1 dp _ Ou р дх ~ dt ^ + ßjr [Y q2 ) ~ 2 ( � Шг ~ Wwy) ' Y-L d P-- d JLA

P ày \ dp Р

dt 1

dy '

dz

dx '

dw . dw . dw

• w dw dz

W~~dt

~ l _ B ä F

+ v l y

Умножая уравнения (11) на орты i, j , k и скла дывая, получим уравнения движения в векто риальной форме:

(15)

p dy ~ dt ^

F— - i - grad P = -jjj- f

(q, grad) q ,

(12)

dt +

Z- — -' P dz

или в иной записи:

dw

1 dp

(12')

+ - f c (•Y - 2

-

— Г

F

^

где V = grad — оператор Гамильтона

где

1 (dw

dv \ d 7 ~ d F / '

(dx 1 + dy J + dz к ) • Из векторного анализа известно преобразова ние: — grad q- = {q, grad) q + [q rot "q], (13) I

1 (du

dw \

2

\1J~W)'

1 (dv 2 \dx

du_\

dy)'