Гидротехнические сооружения. Том II

Величина

р называется

гидродинамическим

Так как вектор р направлен по внутренней нор мали, то р = —рп и уравнение (1) можно переписать в виде f (F — a) p dx = j pu ds = 0. (6') К последнему интегралу можно применить из вестную формулу Гаусса, дающую преобразова ние интеграла, взятого по замкнутой поверхности, в объемный: д Ѵ дх dx dy dz — V cos (я, x) ds

давлением в точке А. Общей задачей гидродинамики является уста новление распределения скоростей и гидродина мических давлений под действием заданных внешних сил. Для этой цели сначала нужно установить не которые общие соотношения, связывающие поля скоростей и давлений. Эти соотношения и даются диференциальными уравнениями гидродинамики, вывод которых дается ниже. К любой материальной системе можно приме нить начало Даламбера, гласящее, что в каждое мгновение движения все силы, приложенные к системе, включая силы инерции, взаимно урав новешиваются. Выделим в движущейся жидкости произволь ный объем т, ограниченный поверхностью « (рис. 5).

j j

dxdydz—

j Vcos (n,y)ds

(7)

I f f ' dV dz

dx dy dz = j V cos (я, z) ds

где я обозначает единичный вектор внешней нормали к поверхности«, а, V—произвольная днференцируемая функция координат х, у, а. Умножая уравнения (2) на i, j , к и складывая, имеем f j j (grad V) dx dy dz = j Vn > « где dV dV grad Ѵ = : т - . х + - ж г . ; + dy dV dz '

Рис . 5 Равнодействующая всех внешних сил, действую щих на элементарный объем dx, равна Ff dx, где есть плотность жидкости. Сила F отнесена к единице массы. Равнодействующая внешних сил, действующих на весь объем х, выразится объемным интегралом I Ëfidx, распространенным по всему объему т. Аналогично, равнодействующая сил инерции есть / (— a) p dx, где а — ускорение жидкой частицы. Равнодей ствующая сил давления (поверхностных) есть I P ds, где последний интеграл берется по всей замкну* той поверхности s (поверхностный интеграл). По принципу Даламбера I* Fo dx -f j (— а) p dx -f j ]) ds — О

градиент скалярной функции V. Так как dx dy dz = dx, то имеем

(7')

f grad V-dx — j V-n\ds.

Формула (7' ) представляет собой следствие известной теоремы Гаусса. Отсюда последний интеграл в (6') можно пере писать: j р • п • ds — j grad p • dx (8)

и (6' ) представится в виде

f i ( f - « ) p - grad] p d x = 0.

(6")

Так как объем т взят произвольно, то отсюда следует, что подинтегральное выражение равно нулю, т. е. ( F — p— grad р — 0, или в проекциях: X— лx : 0

1 dp р дх

«ли

f (F-a)pdx

+ I p ds-

(6)

(9)

P dy

1 dp = 0 p dz

Обозначим единичный вектор (так называемый „орт") внешней нормали к элементу поверхности s через я, а единичные векторы направлений координатных осей через i. j , k.

Z — a z

где X, Y, Z — компоненты F по осям координат.