Гидротехнические сооружения. Том II

12. СЛУЧАЙ ОТСУТСТВИЯ ШПУНТОВ Известно, что если w — и -f- i-v = / ( z ) = f ( x + + іу)—аналитическая функция комплексного пере менного z-—x-\-i-y, то сопряженные функции и(х,у) и ѵ (х,у) являются корнями уравнения Лапласа, причем кривые и — const и ѵ - - const образуют семейство ортогональных кривых, рассмотрим аналитическую функцию • - 1 2 z ~ b . ъ ' w = со s h (6) или Тогда 2 z — b — b cos h • w.

Приняв ось координат в центре подошвы пло тины, а ширину последней назвав 2Ь, получим решение, помещенное в § 33 главы VII труда проф. H. Н. Павловского под заглавием .Гидро механика грунтовых вод и принципы проектиро вания гидротехнических сооружений на песчаных основаниях", 1920 г., а именно: h • —- c o s •К)' где H — ро- Обозначая ширину b и располагая начало координат по Wolff, получаем ту же фор мулу без двойного знака. 100 во

2x—b-\- = == b (cos A-w-cos г»-(-г sin A-u-sin v), b cos А-ц-cos V — 2x — b, i-'ly = b cos h (u - f - i-v)

Vs- ч ч

80 70 60 1 50

так что

V! 1

(7) (8)

su

b sln A-u-sIn f = 2y

N ч

40 30 20 10

ч

(2 x-b)°

(2v)» •

ч

b 2 cos 2 v

b 2 sin 2 v

^ )

ч

s

4

0 1 2

3 4 5 6 1 8 Основание

9 1.0

b- cos A 2 и K ' ' Количества и w v—корни уравнения Laplace. Из уравнения (10) видно, что кривые и = const являются софокуснымн эллипсами с расстоянием между фокусами, равном Ь. Таким образом кри вые и — const пересекают ось х-ов иод прямым углом как при х^иО, так и при x ' s z b и являют ся касательными к оси . ѵ -ов при O s x s t 1 . Кроме того, кривые и — const изображают ли нии тока при отсутствии шпунтов. Сопряженная фуикция v ( х , у ) является при этом функцией давления (см. ниже о постоян ной Ао). При" v — 0 из уравнений (7) и (8) следует, что у = 0 при x s z b , тогда как ѵ = я отвечает слу чаю _у = 0 и . Таким образом ѵ ( х , у ) — функция давления для случая, когда р 0 = ъ, а в нижнем бьефе р — 0. Следовательно р { х , у ) = ^ , ѵ ( х , у ) (11) b 1 sin A 2 и является функцией давления, линии же равных на поро в— софокусные гиперболы (9). При и — 0 из (7) и (8) имеем у — 0, 0 < х < Ь . Итак, и — 0 всюду иод подошвой плотины, где есть напор. Этот напор [см. уравнение (7)] равен

РИС. 534

Обращаясь к рис. 234, нанесем пунктиром пря мую в г р у б о м п р е д п о л о ж е н и и л и н е й - н о г о и з м е н е н и я н а п о р а п о д п л о т и н о й о т м а к с и м у м а д о н у л я . Из рис. 234 ясно, что в действительности в верховой части подош вы плотины имеем меньший напор, чем дает ли нейное падение его, а в низовой — больший напор. Полное взвешивающее давление равно ь --1 2 х—Ь cos" ~dx pi • b (13) д л я э т о г о с л у ч а я (Вольф, 1915 г.). Момент взвешивающего давления относительно верхового ребра плотины равен ь m _ра те I X cos — 1 2х- ь л г - 3ьг -ро - 1 6 Плечо момедга равно ЗЬ 2 -р 0 2 3b 16 ' p ü b ~ 8 ' Приняв закон прямой для изменения воды на подошву, получим (14) (15) давления т. е. имеем в т о ч н о с т и т у же ч т о д а е т л и н е й н о е п а д е н и е в е л и ч и н у , н а п о р а

р(х, 0) =

у^ ѵ (х,у)

р а _ ] 2 д : — = — cos — г - п b

(12)

Решение получено Вольфом в 1915 г. с исполь зованием функции 2 z—b w — cos A —-,—• (6),

b

а плечо момента

ь_ 3

н а й д е н н о й с п о м о щ ь ю

к о н ф о р м н о г о

Р а з н и ц а

в в е л и ч и н е M

д о с т и г а е т

п р е о б р а з о в а н и я . Распределение давления по подошве плотины без шпунтов дано формулой (12) и изображено на рис. 234.

11,1%, п р и ч е м б о л ь ш и й м о м е н т д а е т и с т и н н а я к а р т и н а я в л е н и я , а не явле ние по закону прямой.