Гидротехнические сооружения. Том II

Косинусы касательной к линии тока с осями равны dx dy dz ~ds' ds' ~ds' где ds — диференциал дуги линии тока. Отсюда получаем: dx_ ds

Вектор s является величиной, характеризующей каждую частицу жидкости. Иначе говоря, каждой физической частице соответствует определенная тройка чисел а, b, с, которая является как бы наименованием этой частицы. Если взять теперь какую-либо неподвижную точку пространства и в какой-то момент времени t зафиксировать положение тех жидких частиц, которые проходили через эту точку пространства в промежуток времени от t = 0 до фиксируемого момента, то получится линия, называемая л и н и е й о т м е ч е н н ы х ч а с т и ц . Линиями отмеченных частиц пользуются при экспериментальных исследованиях различных течений. Дчя получения их опускают в жидкость одну или несколько трубочек и выпускают из последних краску. Видимые, благодаря окраши ванию, линии и являются линиями отмеченных, частиц, так как они состоят исключительно из частиц, прошедших около'отверстия трубки. Очевидно, что — при установившемся движе нии— линии тока, липни отмеченных частиц и траектории совпадают. б) Диференциальные уравнения движения жидкой частицы в форме Лагранжа, Эйлера и Лэмба-Громеко Первой задачей при обоих методах исследова ния является вопрос о связи между силами, дей ствующими в жидкости, и производимым этими силами кинематическим эффектом. Силы, действующие в жидкости, можно разде лить на два класса: 1) силы массовые, действующие на произвольно выделенную массу жидкости независимо от окру жающей жидкости, например сила тяжести, инер ции и пр. Это будут внешние силы. Эти силы будут в дальнейшем обозначаться вектором Р; 2) силы поверхно стные, действующие

и 1 V 4 w 4

dy

ds dz ds

или

dz

(ІХ_ и äl L <7 Здесь только два первых равенства независимы, третье же есть их следствие, так как ds _ Vdx't -f rfy» -f dy* 7 — V u ? ' + + а это равенство вытекает из первых двух. Два независимых соотношения между тремя координатами х, у, з и определяют линию тока, причем время t входит как постоянный параметр. Таким образом dx dy u(x,y,z,t) ѵ (х, у, Z, t) dz ~ W (X, y, z, t) • (5) Для определения траектории имеется система (4), куда время t входит не как параметр, а как существенно независимое переменное. При уста новившемся движении функции системы (4) от времени не зависят, и время t в этих функциях может быть рассматриваемо как произвольный постоянный параметр. В этом случае системы (4) и (5) эквивалентны, т. е. при у с т а н о в и в - ш е м с я д в и ж е н и и линии тока в траектории совпадают, что ранее уже и было сказано. Вообще линии тока физического смысла не имеют, а являются лишь математическими обра зами. В векторных обозначениях диференциаль ное уравиепие линий тока есть id?, ?] = О, где т/г —диференциал радиуса - вектора какой нибудь (точки линии тока, совпадающей по на правлению, как известно из векторного анализа, с касательной, а символ [ ] означает операцию векторного произведения векторов dF и q. Так как по определению векторы гіг и q' параллельны, то это произведение равно нулю. Подобно тому как эйлеровский способ иссле дования влечет за собой понятие линии тока, способ Лагранжа влечет за собой понятие о линии отмеченных частиц. Рассмотрим систему (3): 7=7(t, s), . V w

'iL

на границах выделен ного объема со сто роны окружающей жидкости. Эти силы в дальнейшем будут обозначаться векто ром Р. В идеальной жид кости силы трения отсутствуют; кроме того малейшее растя жение влечет за собой разрыв сплошности. Следовательно, по

Рис . 4

верхностные силы должны быть направлены обя зательно по внутренней нормали к элементам поверхности выделенного объема жидкости. '« Ц Пусть в жидкости выделен произвольный объем т (рис. 4). Пусть далее на элемент поверхности (s) дей ствует сила Р. Если взять внутри элемента д любую точку А и неограниченно уменьшать эле мент, так чтобы он в пределе обратился в точку А, то, как известно, предел отношения р V = lim ss о s является вполне определенной величиной, неза висящей от того, какая именно площадка стяну лась в точку А.

X = X (t, я, Ь, с), у -у (t, а. Ь, с), z = z(t, а, Ь, с).