Гидротехнические сооружения. Том II

чаем значения проекций скоростей, определяемые системой (2), т. е.

симости q — q (г, t) или, в проекциях на оси ко ординат: и — и (X, у, г, t) 1 V = V (х, у, 2, t) . (1 ) W— W (X, у, 2, t) ) При установившемся движении, когда скорости частиц жидкости не зависят от времени, а зависят только от их положения, q — q{r), или в коор динатах: 11 = и (Л-, у, Z ) Ï V = V (х, у, z) I. (2) w = w (д-, у, г) ) Эти уравнения полностью описывают скорост ное поле движущейся жидкости, причем система (1) относится к случаю, когда это поле меняется с временем, т. е. к неустановившемуся движе нию, а система (2) — когда это поле от времени не зависит, т. е. к установившемуся движению.

— и — и (х, у, z, t)

= ѵ — ѵ (х, у, z, t)

= W = W (х, y, 2, t)

Таким образом метод Лагранжа дает интегралы системы совокупных уравнений Эйлера, причем параметры а, Ь, с являются постоянными инте грации и определяются из начальных условий.

Остлновимся на некоторых представлениях, необходимых для дальнейшего. Метод Эйлера дает вид поля скоростей, т. е. функцию 4=1 (г. Т). Если в какой-либо момент времени зафиксиро пать это поле и провести кривые, касательные к которым в любой точке совпадают с направле нием скорости частицы жидкости, находящейся в этой точке, то такие кривые дадут наглядное представление о направлении скорости в каждой точке пространства.

Рис . 1

Д р у г о й с п о с о б принадлежит Лагранжу и заключается в исследовании движения отдельной частицы жидкости, нахождении ее траектории, скорости, ускорения и т. д. Если соедииить какую нибудь^ движущуюся частицу M радиусом-век тором т с началом неподвижной системы коор динат OXYZ , то движение будет полностью опи сано, если для каждой частицы будет найден за кон движения в зависимости от времени t не е на чального положения s, т. е. будут установлены зависимости (рис. 2): 7— г (t, s) X — А- (/, а, Ь, с) y = y(t,a,b,c) Г ( } z — z (t, а, b, с) где а, Ь, с — проекции s на оси координат. Из свойств жидкости, как непрерывно распре деленной материи, следует, что функции, опре деляемые системой (3), должны быть непрерывны и днференцируемы. Относительно же функций системы (2) того же сказать нельзя, так как, вообще говоря, в жидкости скорость может меняться прерывно от точки к точке. Легко видеть, что между способами Эйлера и Лагранжа существует тесная связь. Действитель но, диференцируя функции системы (3), мы полу

Эти кривые называ ются линиями тока (рис. 3). Линии тока отожде ствил ять с траекто риями нельзя, так как л и н и и т о к а о т н о - с я т с я т о л ь к о к о д н о м у м о м е н т у С траекториями ли

нии тока совпадают т о л ь к о п р н у с т а - и о в и в ш е м с я д в и - ж е и и и, когда ско ростное поле от времени не меняется.

Диференцналыіые уравнения линии тока нахо дятся так: так как по определению скорость q по нанравлению совпадает с касательной к линии тока, то они образуют одинаковые углы с осями координат. Косинусы углов скорости q с осями равны и V w