Динамическая устойчивость упругих систем

98

(гл. 1v

КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Дифференцирование приводит ко второму из уравнений (4.8): da 1 - {j[ = 2;; а (а, ш). Оба приведеиных выше обоснования при всей физической прозрачности не являются, конечно, математически строгими. Строгое обоснование метода медленно измеияюlЦихся ампли туд былодано Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папа л е к с и 1) .. Применяя метод малого параметра, они показали, что первые приближения в обоих методах совпадают. К аналогичным результатам приводит также первое прибли жение по методу Н. М. Крыл о в а и Н. Н. Б о г о л ю б о в а 2). Е1Це один способ обоснования можно найти в кинге А. А. Андроиова и С. Э. Хайкииа 11 ). Было бы неверным думать, что точность, которую дает метод медленно измеияюlЦихся амплитуд, принщшиальио ограничена. Вводя в рассмотрение гармоники f (t) = а 1 (t) sin шt + а 2 (t) sin 2;t + а 3 (t) sin з;t + ... , мы можем увеличить точиость результатов. Чем меньше нелииейиость, тем бОльшую точиость дает первое; гармони ческое приближение. _ 4. Метод может быть распространен также и на задачу о вынужденных колебаниях. Рассмотрим, например, уравнение f' + 2е/' +ш'Аf+ф{f, f, /") = S sin fJt. (4.11) Его решение будем искать в форме /(t) = a(t) sin Ot-b(t)cos fJt, ( 4.12) где a(t) и Ь(t)-медленно изменяюlЦиеся амплитуды. Пере пишем уравнение (4.11) следуюlЦИМ образом: f'+fJ'!/=SsinfJt+(FJ 2 -ш 9 )f-2ef'-ф{f, /', f'). (4.13) Подставив в правую часть выражение (4.12), разложим ее в ряд ~ F = F (а, Ь) siп Ot + а (а, Ь) cos fJt + ... ( 4.14) 1) Жури. техн. физ. 4, вып. 1 (1934). 2) Новые методы нелинейной механики. ДНТВУ, 1934. См. также Боголюбов Н. Н. и Ми т ропол ьск ий Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Гостехиздат, 1955. ") Теория колебаний. ОНТИ, 1937 ..