Динамическая устойчивость упругих систем

97

§ 16]

МЕТОД МЕДЛЕННО ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ АМПЛИТУд

жает закон изменения амплитуды во времени. Для линейной диссипативной системы, в частности, получаем 1): w = w = const, а= a 0 e-•t З. Приведем другое обоснование мето.ztа, прмнадлежащее К. Ф. Теодорчику 11). Запишем уравненме (4.1) в виде f' + ;,'!/= (; 2 -w 9)/- 2в/' -Н/, /', /'). (4.9) Будем рассматривать колебания заданной нелинейной см стемы как вынужденны~ колебания линейной консервативной системы с частотой w, находящейся под действием внеш ней силы ~F =(;. 1 -w'~)f-2af -~(/, /', /'). Разложение правой части в ряд Фурье с использованием (4.7) дает: F(a, ;)=(;,!i_w'A)a-Ф(a, w), а(а, -;;;)=-2в-;;;а-у(а, w). Но с самого начала мы предположили, что решение не содержит косинусоидальноА части, поэтому F(a, w)=O. Полученное уравнение совпадает, очевидно, с первым из уравнений (4.8). Далее, рассмотрим уравнение f' + w'~/= а (а, w)coswt. (4.10) Если а (а, ;) -медленно изменяющаяся функция, то при ближенное (асимптотическое) решение уравнения (4.10) будет: f(t) =а (t) sin ;t, где ' 1 J. а (t) =--=- а ('t) d't. 2w о 1) Это решение отличается от точного только отсутствием nо nравки к частоте на затухание (2.3). ~) См. сноску на стр. 95. 7 Зак. 1035. в. В. Болоrин где ~F :::о:: F (а, w) sin wt +О (а, (;)cos ;t,