Динамическая устойчивость упругих систем

96

КОЛЕБАНИЯ HEJIИHEЙHOI\ СИСТЕМЫ

[гл. IV

Вследствие nроизвопьного выбора начального момента времени начальную фазу считаем равноЯ нулю. Подставим ( 4. 4) в выражение для нелинеЯноЯ функции •'1 {/, f', f') и разложим результат nодстановки в ряд Фурье ф(f, f', f')=Ф(а, ;)sin~t+':f'(a, ;)cos;t+ ... (4.6) Члены, содержащие гармоники, не выnисаны. При оn~еде пении коэффициентов - w Ф (а, ;) = : J •} (/, /', /') sin ;;t dt, о - w W(a, ~)= ~ J ф{f, /', Г)cos;;tdt о · f' =- aw~ sin wt+ 2a'w cos wt+ а" sin wt;=:::::-aw9sir.wt. Подстановка выражения (4.4) и (4.6) в уравнение (4.1) дает - a~'J. sin ;t + 2а~ cos ~t +а" sin ;t + 2sa' sin ;t + + 2sa; cos ;t + w"'a sin ;t + Ф (а, ;) sin ;t + +Ч(а, ;)cos;t+ ... =0. На основании (4.3) и (4.5) nодчеркнутыми членами можно nре.!:!_ебречь. Приравнивая нулю коэффициенты nри sin wt и cos wt, nолучим следующие уравнения: (w'A- ;~)а+ Ф (а, ;) =О, \ da 1 ш - } (j[ =- ва- 2 ;;;- ~ (а, w). J (4.8) мы исnользуем неравенства (4.5), nриближенно nопагая f'=a;c~s~t"ta'sin~::::::~cos;t, _ _ _ }< 4 . 7 )

Первое из уравнениЯ nозволяет установить зависимость частоты от амnлитуды колебаний, второе уравнение выра-