Динамическая устойчивость упругих систем

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

СОБСТВЕННЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ § 16. Метод медленно изменяющихся амплитуд 1. Современные методы исследования нелинейных колеба ний берут начало в знаменитых трудах f\. М. Л я п у н о в а и А. П у а н к ар е 1). Хотя строгое исследование нелинейных дифференциаль ных уравнений в общем случае и составляет серьезные мате матические трудности, существует широкий класс уравнений, для решения которых предложены приближенные, но доста точно эффективные методы. Таковы, в частности, уравнения, описывающие колебания систем с малой нелинейностью. Рассмотрим нелинейное дифференциальное _уравнение f'+2ef'+w 9 f+·~(f. f', f')=O. (4.1) Введя безразмерное время и безразмерное перемещение, представим это уравнение в виде т('+~ 11' + 11 + ф (1J, 11', 1J 11 ) =О. (1) Штрихами обозначено дифференцирование по безразмерному времени. Будем называть нелинейность малоn, если соблюдается условие 1 с} (1], ~'· т(') 1 ~ 1• (4.2) 1) Л я п у н о в А. М., Общая задача об устойчивости движения. Гостехиздат, 1951; Р о i nса r е Н., Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, 1892. См. также М а л к и н И. Г., Методы Ля пунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Гостехиздат, 1949.