Динамическая устойчивость упругих систем

§ 15)

91

НЕЛИНЕЙНОЕ ЗАТУХАНИЕ

Уравнение собственных затухающих колебаний принимает вид (ер. §§ 13-14) · ( kw' /''+2sf'+w 2 1 + Lp )!=0. Дифференцируя формулу (3.14), находим: '- т::11 ff'+ 3 7t4 JSf' 'UJ - 2/ 16 /8 + ... Подстаноока в уравнение (3.34) дает: (3.34) 7t2kLw2 3 tt4kLw3 f' + 2sf' + wllj + 2/Р* jllf' + I6 zsp* f4f' + ... =О, Если прогибы не очень велики, то можно ограничиться членами не выше третьего порядка малости. Нелинейная функция принимает вид (3.35) где sL- коэффаи,аент неланейного затухания, т. е. (3.36) Если стержень входит в состав стержневой системы, то, как мы покажем, нелинейность затухан.ия может быть объяс нена рассеянием энергии в остальной части системы. К этому выводу приводят соображения, аналогичные высказанным в § 14. . Пока амплитуды колебаний стержня достаточно малы, энергия его колебаний практически рассеивается только в самом стержне. В случае больших амплитуд благодаря сближению концов стержня возникают дополнительные пере мещения всеR фермы, нелинеRно связанные с перемещениями стержня. Потеря энергии на этих перемещениях и создает нелинеRность затухания. Если ввести некоторые дополни тельные предположения, то коэффициент нелинеRного зату хания для этого случая может быть определен аналитиче ским путем. Рассмотрим ферму, изображенную на фиг. 21. Как это часто делается, представим силы сопротивления движению т. е. приводит в конечном счете к нелинейной функции типа (3.32).