Динамическая устойчивость упругих систем

75

§ 13)

НЕЛИНЕЙИЛЯ УПРУГОСТЬ

Разлагая радикал в ряд

~ r 1 - ( dv )2 = 1 - .!._ ( dv )2- _!_ ( du )' + V ds 2 ds 8 ds

и nочленно интегрируя, nолучим: J l

w= -~ J (:~у ds+{ J (:~у ds+

(3.13)

о

о

Первый член этого ряда-часто встречающееся в расчетах на продольный изгиб выражение для о:nросадки» подвижного конца стержня. Положим в формуле (3.13) v (s, t) = f(t) siп ~s •

Произведя интегрирование l f

g7tSd / COS Т S=2•

о l J

cos 4 ~s ds = ~ l

о

п2f2 + __!_ п4f4 +

и т. д., найдем:

_

(3.14)

64

41

/3

W-

С учетом дополнительной nродольной силы (3.12) урав нение колебаний стержня (2.1) nринимает вид f'+2sf'+w'A(1- Po+Ptc;:Ot+dP)f=O [ер. с уравнением (1.4)). После nодстаковки (3.14) получим: /"+2af'+w'A(1- Po+~:cosOt )!+ф(/)=0,

где

Таким образом, учет nродольной уnругой связи также nриводит к нелииейной функции типа (3.11). В дальнейшем