Динамическая устойчивость упругих систем

74

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НРЛИНЕЙНЫХ ФАКТОРОВ

(г л. ш

Сравнивая уравнение (3.10) с уравнением (3.6), .приходим к выводу, что нелинейная функция, соответствующая пол ному выражению для кривизны, имеет вид 8/2 + 32 /i""" + ... . Это значит, что функция ф (/), учитывающая влияние нелинейной кривизны, может быть представлена в виде ряда, :z: содержащего нечетные степени прогиба , f) _ у ( - 11 ( тс1J2 3 r.4f4 ) Q) '/

О<) ф (f) = ~ "tkf2k+1, k=l

(3.11)

где

тc2wl "tt=Sii""·

3 ~~~~4 "(2 = 32 /Г

1 ~ 1 ~

и т. д.

Можно показать, что к нелинейной функции типа (3.11) приводит также учет некоторых других нелинейных факторов. Рассмотрим, например, стер жень с продольной упругой связью (фиг. 16). При колебаниях в стержне

Q----''---!1

Фиг. 16.

возникает дополнhтельная продольная сила от реакции связи

11P=-CW. (3.12) Через w обозначено продольное перемещение подвижного конца стержня, через с-жесткость связи; осевая деформа ция стержня не учитывается. Весьма существенно, что продольное перемещение w связано с поперечным прогибом стержня непинейно. Про дольное перемещение подвижного конца может быть найдено как разность между первоначальной длиной l и проекцией его искривленной оси: 1 1 Ф = l- J cos' ds = l- J у 1 - ( :: У ds. о о