Динамическая устойчивость упругих систем

73

§ 13]

НЕЛИНЕЙНАН ~'ПРУГОСТЬ

Заметим, что как эта формула, так и формулы дальней ших приближений могут быть получены как частный случай из результатов Л. Эйлера, приведеиных в его знаменитой работе «0 кривых, обладающих _ свойствами максимума минимума». В некоторых позднейших работах поправка второго приближения была вычислена неверно, на что ука знвал в свое время Е. Л. Николаи 1)._ § 13. Нелинеймая упруrость 1. Верн~мся к задаче о динамическо.й устойчивости пря молинейного шарпирно опертого стержня, сжатого периоди ческой продольной силой. Будем исходить из уравнения f' + 2af' +~Р(1- 2:J.Cos fJt)f+~(f. f', f') =О, (3.9) отличающегося. от (2.1) наличием векоторой нелинейной функции перемещений, скоростей и ускорений ~ (/, f', f'Y. Определение вида этой функции составит нашу ближайшую задачу. Среди членов, входящихвнелинейную функцию 1\J (/, f', f'), всегда можно выделить члены, которые не содержат произ водных от перемещений по времени. Формально эти нели нейные члены характеризуют нелинейную упругость сисТемы. Учитывая это, мы будем объединять все статические нели нейные факторы, будь они геометрического или физического происхождения, под общим названием нелинейной упру гости. Нелинейнан упругость является единственным нелинейным фактором в задаче О· продольном изгибе стержня силой, превышающей критическое значение. Соответствующее урав нение может быть получено из (3.9), если положить в нем ! = coпst и отбросить члены, явно зависящие от времени. В результате получим: Q'''f +у (/) = о

или

(3.10)

1) Ученые записки ЛГУ, серия матем. наук, вып. 8, 1939.