Динамическая устойчивость упругих систем

§ 12)

71

ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ В ПОСЛВКРИТИЧВСКОЙ СТАДИИ

Уравнение nродольного изгиба (3.1) nринимает вид tfAv ds2 +Pv-0 yt-(~~y EJ- . Полученное нелинейное дифференциальное уравнение можно nривести к виду, более удобному для решения. А именно, разложив радикал в бином Ньютона 1 [1 -(::уг2 = 1 +}(:;у+~ (~~У+ ... , (3.3) переnишем уравнение (3.2) следующим образом: : [ 1 + ; (~~у+ i (~~у+ ... ] + ~ =о. (3.4) Учет в разложении (3.3) nервого члена соответствует обычному линейному приближению сопротивления материа лов. Первое нелинейное приближение nолучим, удерживая в (3.3) два члена; такое nриближение будет nригодно nри не слишком больших nрогибах. Если продольная сила не намного превышает критическое значение, уnругая кривая по своему характеру мало отли чается от «формы nотери статической устойчивости» (3.5) Для нахождения неиавестной стрелы nрогиба f восnоль зуемся вариационным методом Галеркина. Вариационные методы в nоследнее время находят все более широкое и эффективное nрименение в различных разделах nрикладной теории уnругости и строительной механики; мы предпола гаем, что читатель знаком с этими методами 1). Следуя методу Галеркина, подставим выражение (3.5) в диф ференциальное уравнение (3.4) и nотребуем ортогональности (3.2) v(s)=/sin ~s.

1) Для первого чтения рекомендуем книгу Я. А. П р а т у с е в и ч а, Вариационные методы в строительной механике. Гостех издат, 1948. ·