Динамическая устойчивость упругих систем

592

(ГЛ. XXII

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОИЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК

Пола·гая х = cos ·~. приводим уравнение к виду _!!_ [< 1 - х 2 ) dP] +(л- ~) Р = о ) dx dx . 1-х• ~ (k =о, 11 2, ...). J

(22.46)

Эrо-известное уравнение для nрисоединенных nолиномов Лежандра. Уравнение (22.46) имеет собственные значения '·п=n(n+1) (n=O, 1, 2, ...). (22.47) Каждому собственному значению Лп соответствует n + 1 собственных функциИ k Р~ 1 (х)=(1-х'})2 ::.Рп(Х) (k=O, 1, 2, ... , n),

где

8Jзвращаясь к уравнению (22.45), находим систему его решениИ:

k=O k=1

F 0 (·~. ~)=Рп(соs•}), F _ 1 (1\1. ~) = р<~> (cos ·~) sin ~. F 1 (·~. ~) = p~>(cos l\l)cos?

k = n

F _, 1 ("f, ~) = p;:>(cos 1\1) sin п~. F n (·~. ~) = р<;:> ( cos ·~) cos n~.

Как известно, nолиномы Лежандра Рп(х) имеют в интер вале (- 1, + 1), т. е. в интервале изменения 1\1 (0, 1t), ровно n нулеit: Присоединенные функции р~>(х) имеют соот ветственно n-k нулеИ. Так как sin k~ и cos k~ обращаются в нуль на 2k мери дианах, а р~> (х) ввиду только что сказанного- на n- k широтах, то вся сфера разбивается на «клетки», внутри ко торых F (·~. ~) сохраняет nостоянныИ знак. Это значит, что число Л оnределяет вид формы колебаниИ и, в частности, размеры «nолуволн» в меридиональном и широтном наnра R•l~"НИЯХ. Чем меньше размеры nолуволн, тем, следовательно,