Динамическая устойчивость упругих систем

§ 105]

589

УСТОЙЧИВОСТЬ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

Введем обозначения

Eh Л- 2 [ 2 (Л - 1)'1 + 1] = '1 1 тRЭ Л 1 + 'J с w ' 2Eh [ 9 (~ _ 1 )'1+ 11 _ R (Л- 1 + 'J) с 11. - q •.

(22.3~)

Полученное уравнение принимает вид

~{+ wl!( 1 _ qo+~cos6t)f= О.

(22.40)

Это-известное уравнение особого случая, причем задача, если не считать сделанногu выше допущения о тангенциаль ных силах инерции, сведена к нему точно. Формулы (22.39) дают собственные частоты и критические силы, зависящие от не известного еще параметра Л. Впрочем, один практически важный вопрос может быть решен и без его предваритель ного определения. Границы главных областей неустойчивости могут быть найдены по известным приближенным форму лам. В частности, низшая граница 1 2 2( qo +2qt) 6.= 4w 1- . q .. Для практических приложениИ интересно знать огибающую нижних границ областей неустойчивости. Предположим, что параметр Л может принимать любые вещественные положи тельные значения, иначе говоря, допустим, что уравне ние (22.38) имеет сплошной спектр собственных значения. Аналогичную постановку мы встречали в главе IX при рас смотрении устойчивости бесконечной балки на сплош ном упругом основании. Для ограниченноЯ области, какой яв ляется сфера, спектр собственных значениЯ является дис кретным. Но в окрестности интересующих нас значениЯ Л спектр уравнения (22.38) все же достаточно «густ», чтобы погрешность, следующая из сделанного допущения, была невелика. Ниже это обстояте.1ьство будет разъяснено подробнее. В дальнейшем обозначим (j= = ~~ g (J.),