Динамическая устойчивость упругих систем

56

ВЛИЯНИЕ ЗАТУХАНИЯ НА ОБЛАСТИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ (ГЛ. 11

оно имеет периодические решения с периодами Т и 2Т, при чем и здесь два решения одинакового периода ограничивают область возрастающих решения, два решения разных перио дов-область затухающих решения. Заметим, что о()ласти неустоЯчивости для уравнения (2.1) лежат внутри областей неустоЯчивости для уравнения (2.2). ПQСЛеднее описывает, кстати, колебания консервативной системы с частотоЯ собственных колебания, вычисленноя с поправкоЯ на затухание.

§ 8. Вывод уравнения критических частот с учетом затухания

Дальнейшие вычисления не трудны. Так, для определения условиЯ, при которых уравнение (2.1) имеет периодические решения с периодом 2Т, подставим в него ряд 1)

00 ~ (

. k6t

kfJt)

f(t)=

~ aksшy+bkcos 2 k=1,3,S

и, выполнив тригонометрические преобразования, приравняем коэффициенты при одинаковых sin k~t/2 и cos kfJt/2. В резуль тате получим систему линейных алгебраических уравнениЯ: ( 6:!) 1:1 fj 1 +11- 4Q2 at--flas-7t 2Q ь1 =о,. ( 62) 1:1 6 i-11-4 u:s b 1 -f!ba+;t2Qa 1 =0, ( 1- ~~:) ak-!'-(ak-2+ ak+2)- ~ :~ bk =О,, < 2 · 5 >

k20~ 1:1 k6 1 - 4 Qi) bk-1'-(bk_2+ bk+2 >+ 7t 2 Q ak =О (k=3,5, ...),

(

где через !:!. обозначен декремент затухания собственных колебания стержня, загруженного пос.тоянноЯ составляющей 1) Этот прием был применен Р 3 л е е м (Теория звука. т. 1, n. 68б, Гостехиздат, 1955), искавшим условия, необходимые для «nоддержа ния движения». См. также А н д р о н о в Л. л. и Л е о н т о в и ч М. А. цит. на стр. 15.