Динамическая устойчивость упругих систем

55

§ 7]

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ниченно возрастать при

в<~ . т > lnl Pl в -т-·

и затухать при

Рассмотрим этот вопрос детальнее. Пусть характеристи ческие числа р 1 , 2 - комплексно сопряженные, тогда ln/pi=O, и оба решения затухают со скоростью затухания свободных колебаний /1 (t) = cpl (t) e-•t' /2 (t) = ср2 (t) е-•'. Рассмотрим теперь случай вещественных корней, nричем для определенности положим: 1 Р1 1 < 1, 1 P2l > 1. В этом случае nервое решение также будет затухать со временем; что же касается второго решения / 2 (t) = ср 2 (t) ехр ( ~ ln р 2 -вt), то здесь могут представитьс·я два случая. Если > lniPsl в -т-· то второе решение, а следовательно, и общий интеграл будут неограниченно возрастать со временем. Рассмотрим граничный случай ln 1 Psl в=-т-· Для нас особенно важно, что второе решение будет в этом случае периодическим: а именно при р > О будет иметь место период Т, а при р < О-период 2Т. Итак, отыскание областей неустойчивости для уравне ния (2.1) сводится к определению условий, при которых то второе решение будет ограниченным, если же < lnlpsl в -т-·