Динамическая устойчивость упругих систем

54

ВЛИЯНИЕ ЗАТУХАНИЯ НА ОБЛАСТИ НI!.УСТОЙЧИВОСТИ [ГЛ. 11

Мы получили уравнение Матье- Хилла, которое отли чается от уравнения консервативной задачи (1.11) наличием дополнительного члена порядка «Поправки к частоте на за тухание» (2.3) Как уже показывалось ( 1.21 }, два линейно независимых решения уравнения Матье -Хилла имеют вид t и! (t) = 'Xl (t) е т In р, .!.. In р 1 u 2 (t) = x 2 (t)e'I' где Х 1 , 2 {t)-периодические функции периода Т; р 1 , 2 -корни характеристического уравнения. Эти корни связаны между собой соотношением (1.20) Pt · Р2 = 1. Возвращаясь к уравнению (2:1}, представим его решения в виде

/ 1 (t) = Xt (t) ехр ( ~ ln р 1 - et), / 2 (t) = х 2 (t) ехр ( ~ ln р 2 - et),

или, отделяя вещественную часть ln р,

/ 1 (t) = rp 1 (t) ехр ( : ln 1 р 1 1- et), / 2 (t) = rp 2 (t) ехр ( ~ ln 1 р 2 1- et). }

(2.4)

Эдесь rp 1 , 2 (t)- попрежнему ограниченные (почти периоди ческие) функции it () Т arg р, Ч'1 (t) = Х1 t е • it Targp. Ч'2 ( t) = 'Х2 (t) е . 2. Легко вnдеть, что поведение решений уравнения (2.1) зависит от соотношения между коэффициентом затухания е и вещественной частью ln р. А именно решения будут неогра-