Динамическая устойчивость упругих систем

§ 99) ПОСТАНОВКА НЕпИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 553

~ t rд·~ (д2·~ + 1- v ~·~) + 1 + v д21ji дljiJ l 2 ду2 2 дх ду ду ' [дlji (д''IJI + 1 - v д2о}) + 1 + v д21ji дlji]

где

F _

ж - f ( ) дх дха

(21.46)

-

1 J

F r1- J2 (t) д у д уз

2 аха

дх ду дх '

2

Уравнения (21.45) могут быть решены отдепьно от урав нения (21.4). 3. Рассмотрим задачу о копебаниях прямоугопьноя ппа стинки, свободно опертой по контуру, находящейся под действием периодических продопьных сип (фиг. 159). Поставив цепью исспедовать резонанс относитепьно главноЯ формы колебания, будем искать решение в виде w (х, у, t) = f(t) sin ~ sin тсf. (21.47) Выражение (21.4 7), как бьшо показано в § 96, дает точное решение пинеЯноЯ задачи дпя спучая пластинки, находящейся под действием равномерно распредепенноя осевой нагрузки (при l = k = 1). Подставив (21.47) в (21.46) получаем: тс3f3 . 2т.:х [ 1 v ( 1 + 1 ) 2тсу] \ F ж= - 4а Stn а а2 - 7li - а:! Ь2 cos т , 1 7t3f2 . 2т.:у [ 1 v ( 1 + 1 ) 27tX] J F rl = - 4Ь SIП т Ь2 - а2 - а2 7li cos а . (21.48) Решение уравнений (21.45) для случая (21.48) можно пегко попучить, еспи чпены, учитывающие продопьные силы инер ции, опустить. Впияние отброшенных членов будет, очевидно, невелико, пока частота собственных поперечных колебаний ппастинки мала по сравнению с частотой собственных копе-. баний в своей плоскости. Копичественная оценка погреш ности, а также способы уточненного расчета будут даны ниже. Решение системы (21.45) имеет вид . 2тсх . 2тсх 27ty · U (х. у, t) =Ах Stn- +С ж Stn -COS -Ь + Uo(X, у, t), а . а ( ) А . 27ty+C . 2тсу 2тсх+ ( t) v х, у, t = ,stn 71 ,stn --;;-cosa v 0 х, у, .