Динамическая устойчивость упругих систем

552

(ГЛ. XXI

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК

получим систему уравнений, связывающую и, v и w:

ifdu + 1-v ifdu + 1 +v ~+ дх'!. 2 ду

1 +v д2w дw т(l-·,2) д2u

+-2- дхду ду-

дt2 =О,

Eh

(21.43)

д2v + 1-vi}2u + 1 +v ~+ ду2 2 дх?. 2 дх ду

дw (д?.w ду дуэ +-2-дх2 + + 1 + v iJ2w дw _т (1- v 2 ) д'tu _О 2 дх ду дх Eh дt'l. - ' 1 - v iJ2w) +

Третьим уравнением, дополняющим эту систему, будет урав нение (21.4 ). Для того чтобы найти приближенное решение задачи, зададимся формой изгиба пластинки при колебаниях, положив w (х, у, t) = f(t) 'f(x, у). (21.44) В формуле (21.44) через ф (х, у) обозначена функция, удовле творяющая граничным условиям для w (например, форма собственных колебаний пластинки), а через f (t)- неизвест ная функция времени. Подстановка приводит к следующим неоднородным уравнениям 1):

д2и +1-vд2u+ дх2 -2-ду2 д'tu 1 + v дх ду -2-- (ld(J + 1 - .. д2и + ду?. -2-дх2 iJ2u 1 + v дх ду -2-- + +

т (1 - v2) д2u •

дt2 +F а:(Х, у, t) =О,

Eh

(21.45)

дt2 + F 11 (х, у, t) =О,

т (1 - v11) ilJu

Eh

1) Это по существу-уравнения Ляме для плоского напряжен qоrо состояния,