Динамическая устойчивость упругих систем

550

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК

(ГЛ. XXI

от перемещений по времени. В задаче о динамической устойчивости стержней к нелинейным членам такого ти па приводит учет точного выражения кривизны. В задаче о динамической устойчивости пластинок необходим учет нового фактора-влияния растяжения срединной поверх ности. Как известно, элементарная теория изгиба пластинок по строена на допущении, что срединная плоскость не попучает при изгибе осевых деформаций. Это допущение реализуется только в частном случае, когда поверхность прогибов-раз вертывающаяся поверхность. В общем случае изгиб пла стинки сопровождается растяжением срединн?й поверхности, причем возникающие при этом дополнительные напряжения будут тем значительнее, чем больше прогиб по сравнению с толщиной пластинки. Учет растяжения срединной поверхности приводит к не линейным дифференциальным уравнениям, поскольку он свя зан с необходимостью введения в соответствующие уравне ния компонент конечной деформации. Так, известные урав нения изгиба пластинки для случая конечных, хотя и не слиш ком больших прогибов, имеют вид !1!1w = ~ ( k + ~~ :;: - 2 д~;У д~у + ~:~ ~~), ) мэ~Е[(.~у)' -:';~]. 1 (21.40) где Э (х, у)-- функция напряжений. Легко видеть, что исключив из уравнений (21. 40) одно из неизвестных, напри мер Э(х, у), мы попучим уравнение, содержащее непиней ные члены третьего порядка. Эти члены и определяют не линейную упругость системы. В отличие от прямолинейных стержней роль нелинейной упругости в задачах динамической устойчивости пластинок весьма велика. Это можно предугадать, сопоставляя пове дение центрально сжатых стержней и пластинок в после критической стадии. В то время_кзк для стержней критиче ская нагрузка является практически предельной, пластинки (речь идет о пластинках, закрепленных по всему контуру) могут выдерживать нагрузку, которая в десятки раз пре вышает критическое значение.