Динамическая устойчивость упругих систем

§ 99) ПОСТАНОВКА НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 549

где /(t)-вектор с компонентами qik(t), а элементы мат рицы А вычисляются по формулам p-t i-1 2k(-1)- 2 -(-1) 2 ( 12 kз)а , если l и р-нечетвые 7t'Aab9 D а2 + ;;а числа и k = q; О, если l или р-четное число или k =!= q.

Дальнейший расчет не представляет затрудненнА.

§ 99. Постановка нелинейной задачи. Основные уравнения 1)

1. Как и в задаче о колебаниях стержней, эдесь можно выделить три группы нелинеАных факторов-нелинеАную инерционность, нелинеАное затухание и нелинеАную упру гость. Первые два фактора определяются аналогично тому, как это делается при изучении динамической устойчивости стерж ней. Так, члены, объединенные под общим названием «нели неАная инерционность», учитывают дополнительные силы инер ции, возникающие на продольных перемещениях и и v; дей ствительно, последние связаны с прогибом пластинки w нелинеАно. Члены, характеризующие нелинеАное затухание, могут быть определены, если учесть дополнительные про дольные силы сопротивления, возникающие в опорных эакре плениях пластинки. Эти силы в первом приближении про да дfJ порциональны скоростям дt и дt . Впрочем, и эдесь можно считать, что «нелинеАное затухание» учитывает изменение коэффициента затухания в зависимости от амплитуды. При этом мы не будем связаны с каким-либо конкретным выра жением нелинейной функции. Новое по сравнению с задачей о динамической устойчи вости стержней обнаруживается, если перейти к третьему нелинеАному фактору-нелинейной упругости. Под общим названием «нелинеАная упругость» объединяются те чле­ ·НЫ нелинейной функции, которые не содержат пронаводных

1) Б оn о т и н В. В., Известия АН СССР (ОТН), 1954, .N! 10.