Динамическая устойчивость упругих систем

§ 98]

547

ПРИМЕНЕИНЕ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ

Затруднения могут встретиться также nри оnределении наnряжений nлоской задачи, а также при вычислении квад ратур (21.39), когда эти напряжения известны, но выра жаются слишком сложным образом. В качестве примера

можно указать на задачу о дина мической устойчивости пластинки, находящейся под действием сосре доточенных периодических сил (фиг. 163). Трудности эти могут быть, одна ко, преодолены, если двойные ин тегралы в выражениях для {P}ik и {Q}ik nреобразовать в интегралы по контуру. Впрочем, те же резуль· таты проще получить, обратившись к уравнениям Лагранжа.

- у

р

а

2

о

Фиг. 163.

2. Покажем это на примере задачи, изображенной на фиг. 163. В случае опертой по контуру пластинки за обобщенные координаты могут быть приняты коэффициенты ряда 00 w(x, у, t) = ~ ~qik(t)sin 1-; sin kтr./. i~1 k=1 Потенциальная энергия деформации изгиба вычисляется no формуле а Ь 1 f f {(дЗW д2w)2 И= 2 D дхЭ + дуЭ - о о [ дЗW д2w ( дЗW )а] } -2(1-:--v) дх:~ ду'А- дхду dxdy. Вычисления дают: 00

Работа внешних сил составляет: ь

V= ~ (P 0 +Ptcos6t) J (дw<~;_'у) У dy. о