Динамическая устойчивость упругих систем

§ 96)

ПРОСi'ЕЙШИЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 539 Допустим, что пластинка радиусом R сжата радиальной нагрузкой q = q 0 + qt cos IJt (фиг. 1 60). Перейдя к полярным координатам r, ~. запишем уравне ние (21.4) в виде д2w д':.w D11w=-m дtЗ +NrдгZ + +N,c2:~ ++ :). (21.33) где д"~ lд lд2 /1 = дr2 + r дг + Г2 д:р11 ' Nr = N, = - (q 0 + qt cos IJt). '1о + ", cos llt Фиг. 160. Рассмотрим случай пластин'ки, защемленной по всему контуру: дw (R) . w(R)= дr =0. D1!1ф- mw"ф = О и граничные условия будут удовлетворены, если положить 1): ·~(r, ~) = (1 11 (kR)J 11 (kr)-1 11 (kR)f 11 (kr)J cosn?. Здесь n=l, 2, 3, ... , 1 11 (х) и / 11 (х)-функции Бесселя п-го порядка вещественного и чисто мнимого аргументов, k- корни характеристического уравнения Уравнение собственных колебаний

J"(kR) 1~ (kR)

1 11 (kR) 1 I~ (kR) =о.

1

Частоты собственных колебаний будут:

w=k\IV~·

Ищем решение задачи в форме

(21.34)

w(r, ~. t)=f(t)ф(r, ~).

1) См., например. Кузь м и н Р. О., Бесселевы функции. ОНТИ, 1935.