Динамическая устойчивость упругих систем

§ 96)

535

ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

и, следовательно, к ним· применима общая теория, изложен ная в главе XIV. Переписав матричное уравнение (21.22) в виде f'+ с- 1 1Е~аА -(JФ(t)BI/=0, докажем, прежде всего, что с- 1 А и с-tв-симметричные матрицы. Рассмотрим, например, матрицу c-t А. Ее эле менты будут: ~i Nx дхZ + 2Nx 11 дх д у+ N 11 дуз dx dy. Дважды применяя к интегралу формулу (21.11) и используя граничные условия (21.1 0), как это сделано в § 94 в отно шении аналогичного интеграла, получим: f J ~i ( Nx ~;: + 2Nx 11 да;;у + N 11 ~;:) dx dy = r r ( д2:р, д2:р{ д2:р,) • = ~k Nх-д 2 +2Nх 11 д-д +N 11 -д 2 dxdy. • < Х. Х у у ДальнеЯщее доказательство .аналогично rому, которое было изложено в § 57. -1 f f ( д2:рk д 2 :Рk д'J:pk) (С А Jtk =

§ 96. Простейшие случаи интегрирования

1. Характеристические уравнения /Е-аА 1= О,

(21.23)

дают решения задачи статическоЯ устойчивости пластинки, находящеЯся под действием нагрузки с параметрами а и ~ соответственно. Очевидно также, что частоты собственных поперечных колебаниЯ пластинки удовлетворяют уравнению IE-w 9 C/=0. Займемся матричным уравнением (21.22). СлучаЯ, когда все матрицы, входящие в уравнение, оказываются диагональ ными, назван ранее (§ 49) особым. В этом случае неизвестные функции в системе (21.20) разделяются, причем на основании