Динамическая устойчивость упругих систем

534

(ГЛ. XXI

ДИII.\МИЧЕСК\Я ~·сrОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК

Функции Fik(t) определены по формуле 1 r r ( д~.р,. iJ2.p" Fik(t)=- 2

д 2 .р,.)

'.!li N:х-д 2 +2N.х"д-д +N"д2 dxdy.

mwi . •

х

Х у

у

штрихами обозначено дифференцирование по времени. Переходим к рассмотрению случая, когда действующая на nластинку нагрузка является nериодической. Пренебрегая в линейном nриблИжении nродольными силами инерции, будем выражать усилия через квазистатические наnряжения nлоской задачи

N:x(X, у, t)=a.Na:(X, y)+~Ф(t)N,xt(X, у), Nxy (х, у, t) = a.N.xy (х, у)+ ~Ф (t) Na-yt(x, у), N" (х, у, t) = a.N" (х, у)+ ~Ф (t) Ngt (х, у).

Здесь а. и ~-nараметры, с точностью до которых заданы nостоянная и nериодическая составляющие нагрузки. Урав нения (21. 19) nри.нимают вид

1: +

со

со

w~ !fi- а.~ auJ-.- ~Ф (t) ~ bikfkl =О (21.20) ... -1 k=1 (i = 1, 2, 3, ... ),

где aik = ~ r f !pi (N.c дд~.Р2k + 2NXIfдд~'f'дk + N" ддЗ"':) dx dy, ) · mwi. х х у у l r r ( cJZ'" д2f'., д2.р") bik = -2 ~i N.xt д 2 +2N.xyt д-д +N", -д 2 dxdy. mw. • • х х у у 1 (21.21) Введем матрицw А и В с элементами aik и bik и диаго нальную матрИIIIУ С с элементами cik = aikfw~. Обозначив через f матри~-сrолбец, составленную из функциЯ /i(t), :f.\vишем си~l'~нения (21.20) в матричной форме Cf' +[Е-аА -- ~Ф (t) В]/= О. (21.22) 2. Покажем, что уравнениil (21.20) могут быть nредста D.1ены в канонической форме dp 1 дН ж= -дq;. (i=1, 2, 3, ...)