Динамическая устойчивость упругих систем

532

(ГЛ. XXI

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК

Формула (21.11) с учетом условнА на контуре (21.1 О) дает: f f К (Na:~ +2Nж" д~~ +N" ~~)dEd1J= =- f f [(Na:~t+N:г."~)~~+(N""~~+N"~)~]d;d1J. Но на основании (21.13) дф д•ll д д N 111 де+ Na:" ~ = дё (Na:•}) + д7J (Na:"'}), N"a:~~ + N" ~ =:е (Na:rф) + ~ (N"ф). Вновь применяя (21.11) и используя (21.10), получаем окон чательно: f f K(Na::;~+2Nжflд~ +N":~~)dEd1J= = f f (Na:~~ + 2Na:" :~ +N" ~~)ФdEd1J. Уравнение (21.9) преобразуется, таким образом, к инте гральному уравнению ф(х, у)-а f f S(x, у, е, 1J)ф(e,1J)dEd1j=0, (21.14) ядро которого имеет вид1) S( • )-N (~ ..,\ iPK(x, у, е. "1) + 2N iPK(x, у, е, "1)+ • х, у, ~. 'fj - а: ·• •v д;а 111/1 де д1j +N"(e. 11) д 2 К<х~, е. "1> (21.15) Интегральное уравнение статической устойчивости может быть получено и другим путем. Продифференцируем урав нение (21.9) дважды по х и умножим результат на Na:(x, у), продифференцируем по х и у и умножим результат на 2Na:"(x, у), наконец, продифференцируем дважды по у и умножим на N 11 (x, у). Упомянутые операции законны, так как все производные существуют. Сложив полученные равенства, 1) Бояее общее уравнение, свободное от ограничений (21.10) быяо пояучено в § 53 непосредственно из уравнений неяинейной теории упругости. См. также Г у ре в и ч С. Г., Ученые записки ЛГУ, вып. 8, 1939.