Динамическая устойчивость упругих систем

§ 94)

531

~·РАВНЕНИЯ СОSСТВЕННЫХ КОЛЕSАНИЙ

(n- нормаль к контуру). Смысл первых двух условий оче виден, последнее условие, состоящее из двух уравнений. вь1ражает отсутствие на участке контура внешней нагрузки. В совокупности условия (21.·1 О) сводятся к требованию, чтобы нагрузка отсутствовала н.а участках контура, не закреплен ных от nрогибов или nоворотов. Подавляющее большинство nрактических задач условиям (21.10) удовлетворяют. Восnользуемся формулой Грина f f (:~ + :~) d~ dТj = ~ [и cos ((.'п) + v siп ({.'п)] ds, где и (Е. Тj) и v (е. Тj) -· nроизвольные функци.и;. криволиней ный интеграл берется по контуру, ограничивающему область интегрирования в двойном интеграле. Доnустим, что дана третья функция f (Е. Тj), неnрерывная со своими nервыми nроизводными. Тогда на основании формулы Грина леrк·о доказывается, что JJt(~~+:~)dEdт,=·- f J (и~+.~~)dEdтl+ + ~ [fu соs((.'п)+ fvcos (т;':п)] ds. (21 :11) к интетр~лу, входящему в. (21. 9). Предварительно nреобразуем его nодинтегральное выражение, составив тождество ач аз·~ д2о/ Nxa.:з+2Nxflд"д +N"-дз = <; <; 1) Tl . д ( до/ д'}) д ( д~ до/) =-а· Nxa= +Nз"а- +а- N"x-a· +N"д-' • ~. 1) 1). ,• 1) (21.12) Применим формулу (21.11)

вытекающее из уравнений равновесия дNх + дNxll =О а; д1] , дN 11 х+дN 11 дГ д1] =0. В рассматриваемом случае f(x, у, е. Тi) = К(х, у, Е. тl),

}

(21.13)