Динамическая устойчивость упругих систем

§ 94)

529

УРАВНЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

скости. Эта нагрузка является, очевидно, параметрической по отношению к прогибам w(x, у). Пусть ей соответствуют напряжения плоской задачи теории упругости аа:, а,, "ta:r· Влияние продольных сил, а также сил инерции может быть учтено с помощью приведеиной нагрузки iJ2w д?w д2w д'lw q (х, у, t) = Na: дха + 2Nжr dx д у+ N, дуа- т дt3 , где Na: = h-за:, N, = h-з,, Na:r = h"жr• т-масса пластинки, отнесенная к единице площади. Силы Na: и N, считаются положительными, когда вызывают растяжение. Дифферен циальное уравнение колебаний будет: 1 ( д?.w д?.w iJ2w д2fl1) 1111w = D Nж дх"А + 2Nжr дх ду-+ N, ду~-т дt 3 • (21.4) Сопоставляя (21.4) и (21.1) и применяя формулу (21.2), приходим к интегро-дифференциальному уравнению w(x, у, t)+ т f f К(х, у, е. "J) d?w ~; 2 '1· t) de d"t~- - J J к (х, у, е. "1> l Na: (е. Yi· t) iJ2w ~~'А"~· t> + +2Na:, +N, iJ2w ~ 2 '~· t>] d~d"tj =о. (21.5) 2. Рассмотрим некоторые его частные случаи. Уравнение собственных колебаний пластинки имеет вид w(x, у, t)+m f f К(х, у, е. Тj)д2ul~;a'~·t>dEd"t~=0. w (х, у, t) = q> (х, у) sin (wt+ 3), где ш- частота, 3- фаза собственных колебаний, приходим nосле сокращения на sin (шt+ 3) к интегральному уравнению ~(х, у)-Л f f К(х, у, е, "J)rp(E, "t~)dEdYi=O. (21.6) Его фундаментальные числа Лk = тш~, а фундаментальные функции ffk (х, у)-формы собственных колебаний пластинки Полагая

34 Зв. 11111. в. в. &OIIOПIII