Динамическая устойчивость упругих систем

§ 90) ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА РАМ НА КОЛЕБАНИЯ

503

Составим для рассматриваемой задачи уравнения Лагранжа - -.- +-(U-T)=Qi (l= 1, 2, •.• , п), (20.10) d ( дТ) д dt дzt дzt где ТиИ - соответственно кинетическая и потенциальная энергии системы, Qi- обобщенные силы. Кинетическая энергия рамы определяется с.1едующим образом: Т=; J т(s>(~~k~Pkyds+ ~~мs(±d~kY.JkY· k=1 i k-1 Через т (s) обозначена отнесенная к единице длины масса элементов рамы, через Ms- суммарная масса j-го элемента. Интегрирование и суммирование распространяется по всем стержням рамы. Потенциальная энергия изгиба составляет: И=; J EJ(s)(~zk~::yds, k=1 г де EJ- изгибная жесткость. Наконец, работа внешней нагрузки n n V=Jq(s, t) ~ Zk~Pk(s)ds+~PJ ~ Ц/.Jk· k=1 J k=1 Здесь q (s, t)- погонная поперечная нагрузка, Р.1-проек ция равнодействующей всех сил, приложеиных к j-му эле менту, на направление длины этого элемента. Составляя производкую дVfдzi, получим выражение для обобщенной силы • Q, = J q (s, t) ~Pi (s) ds + ~ P[!.Ji• (20.11) Внеся найденные выражения в уравнения (20.1 0), получим: n . ~ ~:: [ J т (s) ~Pi'11k ds + ~ MJY.JiY.Jk] + k=1 J n + ~ f d 9 'ft dD'fk _ Q ~ zk EJ(s) dsa dsa ds- i k=1 (l= 1, 2, ... , п).