Динамическая устойчивость упругих систем

§ 89]

501

ПОСТАНОВКА ВАДАЧИ

Общее решение системы (20.6) будет иметь вид 4n Ei (s) = ~ Dike"'i 8 k=1

(l= 1, 3, ... , 2n -1),

а соответствующее характеристическое уравнение отличается 1 от (20. 7) знаком перед 2 ~в верхнем диагональном элементе. Если уравнение (20. 7) решено, остается выбрать постоян ные Cik и Dik так, чтобы были удовлетворены граничные условия. Для определения постоянных будем иметь системы однородных алгебраических уравнений. Приравняв нулю определители этих систем, получим искомые уравнения кри тических частот. При этом предполагается, что все выкладки могут быть проделаны в общем виде относительно воз буждающеп частоты О. Расчеты несколько упрощаются, если придерживаться известного из строительной механики метода перемещениll. Вычисления аналогичны в этом случае расчету рам на коле бания и статическую устойчивость по методу перемещениll, хотя значительно сложнее. Если нас интересуют главные области динамическо~ неустоПчивости, то в рядах (20.3) и (20.4) можно оставить первые члены: Ot . Ot v (s, t)=X(s)sin 2 или v(s, t)=8(s)cos 2 . Тогда характеристическое уравнение принимает вид EJp'+ ( aN 0 -+- ~ ~Nt) р 2 -1 m& 2 =О, а определение критических частот сведется к отысканию собственных частот для рамы, загруженной внешней стати 1 1 ческоП нагрузкой с параметрами а, 2 ~ и а, -2 ~· 3. Описанный метод может быть назван «точным», по скольку дифференциальные уравнения (20.1) здесь удовле tворяются для каждой гармоники. Метод же, основанныв на разложении форм колебаниА в ряды по «Подходящим» фундаментальным функциям, будем называть в отличие от первого приближенным. Применительно к рамам, однако, эффективность второго метода невелика. В ряде случаев