Динамическая устойчивость упругих систем

§ 87]

487

УЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ФАКТОРОВ

Пусть полоса шарнирно оперта по концам, тогда и (z, t) = и (t) sin '7, • ~(z, t)=Ф(t)sin~z

является приближенным решением задачи (точным при линеА ной постановке). Применяя метод Галеркина, получим си стему обыкновенных дифференциальных уравнений: d;~ +w:,[ и-7t~~ 11 (М 0 + Mtcos fJt)] +Фж = 0, ) ~: +w~ [Ф- /j,d (M 0 +Mtcos6t)] +Ф, =О. J Здесь через Фж и 9, обозначены нелинейные функции от и, Ф и их производных: •.(ж = / 1 Ф (и"Ф+2и'Ф' +иФ")+ 2хи [(и'Р+ ии"],) ф'i' = ~~~ (U"Ф+2и'Ф' + иФ")+ 2хФ [(и')'1+ ии"). J0 9 · 31 ) Если предположить, что один из концов полосы не имеет смещений в продольном направлении, а сосредоточенная масса на другом конце отсутствует, получим (ер. § 75): / 1 = 0,7360, xl 9 = 6,57. 2. Ищем установившиеся решения нелинейной системы (19.30) в виде и (t) = и 0 sin °~ + ... , J Ф (t) = Ф 0 sin ~ + .. . (19.32) Точками обозначены невыписанные гармоники. Другое реше ние с периодом 41t/IJ Ot и(t)= и 0 соs 2 + ... , Ot Ф(t)= Ф 0 соs 2 + ... в случае нелинейной инерционности оказывается неустойчи вым, и мы им не занимаемся. Подставляя (19.32) в выражения t (19.30)